论文摘要
在策梅洛-弗兰克尔的集合论公理系统ZF中,基础公理把集合的论域限制到良基集合。因此,不存在属于关系的无穷降链,也不存在属于自身的集合。1989年阿克采尔创立了非良基集合理论,引入反基础公理AFA替换ZF中的基础公理FA,从而得到非良基集合论系统ZFA。由于非良基集合可以用来构造循环现象的模型,而这些循环现象都不能用经典集合论来描述,因此,它们在哲学、经济学、模态逻辑、语言学以及理论计算机科学中具有十分广阔的应用前景。接受非良基集合并发展非良基集理论具有重要的理论意义和应用价值。本文研究非良基集合与模态逻辑的关系,在模态逻辑的集合论语义下探讨了一些重要的语义概念,进而研究了集合（模型）的构造、可定义性等等模型论问题。概括说来,本文的主要工作包括以下三个方面:第一,梳理了非良基集合论的理论背景、发展历史和研究现状,介绍了非良基集合在众多研究领域的广泛应用。第二,根据阿克采尔和巴威斯等人的观点,阐述了非良基集合的基本理论,从集合与图的关系和方程组的解两个方面引入反基础公理,保证非良基集合的存在性。接着,引入两个重要的概念。一个概念是本元,它既不是集合也不是类,但可以作为集合的元素。把本元引入图的装饰,便得到加标图。另一个概念是集合上的互模拟关系,它用于判定两个非良基集合相等。第三,在集合论语义下重新研究模态逻辑。本文探讨了框架、模型和集合之间的联系,然后研究集合的构造以及模态可定义性问题,并且将基本模态语言翻译到经典（一阶或二阶）集合论语言。本文还引入了集合之间的互模拟关系和方程组之间的互模拟,进而研究加标图上的互模拟与模态等价之间的关系。最后,在集合论语义下重新研究模态逻辑的一些元逻辑性质。本文的主要创造性工作在于:第一,在模态逻辑的集合论语义下,定义了集合之间的一些非标准运算,包括不交并、生成子集合、p-态射、树展开等,并证明了模态公式在这些运算下的保持或不变结果。第二,把基本模态语言翻译到经典集合论语言,并且证明了语义上的对应结果,初步探讨了范·本特姆类型的刻画定理。第三,在模态逻辑的集合论语义下,研究可定义性理论。本文重点研究了如何使用集合类对模态公式进行分类,从模态逻辑T的特征公式出发,把分类结果推广到其它模态逻辑的特征公式,包括模态逻辑KD、K4、KB、K5和GL的特征公式等等。第四,使用图和加标图等语义结构,初步研究了模态逻辑系统的元逻辑性质,主要包括正规模态逻辑的完全性、有穷加标图性质和可判定性质。本文还尝试使用纯集合和含有本元的集合直接研究这些元逻辑性质。目前,我国逻辑学界对非良基集合论及其应用的研究几乎还是一片空白,尚处起步阶段。在这方面,本文研究工作的意义是,在借鉴和吸纳国外研究成果的基础上,把非良基集合与模态逻辑相结合的研究成果引进、介绍到国内。更重要的是,本文在非良基集合论语义下重新研究了模态逻辑,解决了一些模型论问题,这有利于促进各个逻辑分支的共同发展,更大程度地发挥逻辑学的工具性作用。我认为,模态逻辑与非良基集合论的结合是一个具有深厚理论意义和应用价值的研究方向。