几类结构矩阵的谱问题

论文摘要

众所周知,在工程计算和实际应用中有许多问题最终都归结为矩阵计算问题,而且不同的应用会导出一些具有特殊结构的矩阵计算.最常见的一些结构矩阵有ToepHtz矩阵|αi-j|,Hankel矩阵|ai+j|,Toeplitz-plus-Hankel矩阵,Cauchy矩阵[（?）]等等.处理与这些结构矩阵有关的矩阵计算问题（例如计算特征值、求解线性方程组等）,若矩阵的阶数较小时,通常的经典算法是可行的（例如LU分解算法、QR算法等）.然而,在许多实际应用当中,矩阵的阶数n很大（n-106-109）或某个线性方程组需要多次计算直到得到一个满意的结果（例如迭代法时）,此时这些经典的算法由于代价太大而失去了实际意义.因此,针对这些结构矩阵的特点而设计一些能利用它们的结构的,数值稳定的快速算法,具有非常重要的意义.正因为结构矩阵在实际应用中所具有的重要意义,国内外众多的学者将目光投入到这一领域.结构矩阵的快速算法中最著名的莫过于央速傅里叶变换（即FFT）,有许多快速算法均是由快速傅里叶变换导出的.因此,著名数学家Charles Van Loan曾这样评价快速傅里叶变换算法:“从计算的角度看,快速傅里叶变换是本世纪最杰出的成就之一,毫不夸张地说,快速傅里叶变换改变了科学与工程计算的面貌,如果没有它,生活将会是另一种景象”.本论文主要研究了实Hankel-circulant和Hankel-skew-circulant矩阵的奇异值分解,给出了对称Toeplitz-plus-Hankel矩阵特征值的快速算法和这个计算矩阵特征值算法的数值实验.理论和数值实验显示,这个快速算法是行之有效的.第一章,我们简单介绍了研究结构矩阵快速算法的现实意义、研究概况以及常用的研究方法,同时也给出了与本论文有关的几类结构矩阵的定义及其基本性质.第二章,我们给出了n阶对称Toeplitz-plus-Hankel矩阵与一个n维向量乘积的快速算法;并利用n阶矩阵的对称性,对其实施Lanczos三对角化和QR对角化,计算出矩阵的所有特征值.该算法的计算复杂度为O（n2 log n）.第三章,我们研究了实Hankel-circulant、Hankel-skew-circulant矩阵与Hankel矩阵的关系,并给出了它们的奇异值分解,为我们研究实Hankel-circulant矩阵、Hankel-skew-circulant矩阵的奇异值分解提供了理论基础.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 绪论
• §1.1 引言
• §1.2 几类结构矩阵的定义及性质
• §1.3 设计结构矩阵快速算法的常用方法及本文的结构
• 第二章 对称Toeplitz-plus-Hankel矩阵特征值的快速算法
• §2.1 复对称
• §2.2 复正交变换
• §2.3 对称Toeplitz-plus-Hankel矩阵与向量的乘积计算
• §2.4 Lanczos三对角化
• §2.5 复正交对角化
• §2.6 算法与数值实验
• 第三章 实Hankel-circulant和Hankel-skew-circulant矩阵的奇异值分解
• §3.1 引言
• §3.2 实Hankel-circulant矩阵的奇异值分解
• §3.3 实Hankel-skew-circulant矩阵的奇异值分解
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间所获得的奖励
• 致谢