微积分方程的小波数值解

论文摘要

小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域,在数值分析、信号处理、图像处理、量子场论等众多领域中有着广泛的应用.微积分方程的理论和数值解是数学学科的研究方向,起源于物理问题,是描述物理问题的重要数学工具,静电学、弹性力学、电磁场理论、辐射学等学科中,许多数学问题的解决可化为求解对应的微积分方程.小波具有正则性、消失矩、短支集等特点使得小波在化简方程时形成稀疏矩阵,给数值计算带来快速有效的方法.本文首先介绍了小波分析的背景、早期小波发展以及当前小波应用研究工作的方向,同时介绍了全文的组织结构.从Fourier分析开始,介绍了小波分析的基本理论,包括小波的本质,连续小波变换,离散小波变换,多分辨分析,尺度函数与小波函数的构造等内容.其次介绍了积分方程和微分方程的历史、分类、常用的数值算法以及近年来小波数值解在微积分方程中的应用.最后研究了应用Haar小波数值法,求解线性与非线性Fredholm积分方程以及应用Shannon小波函数逼近法求解微分方程的初边值问题,实验算例表明了Haar小波数值法的高精度及Shannon,小波函数逼近法的有效性.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1. 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 早期小波发展的回顾
• 1.3 当前小波应用研究工作
• 1.4 本文的组织结构
• 2. 小波变换
• 2.1 Fourier分析
• 2.1.1 Fourier级数
• 2.1.2 Fourier变换
• 2.2 小波分析简介及小波变换
• 2.2.1 小波的本质
• 2.2.2 小波分析简介
• 2.2.3 连续小波变换
• 2.2.4 离散小波变换
• 2.2.5 多分辩分析
• 2.2.6 小波的分解和重构
• 2.3 本章小结
• 3. 积分方程与微分方程简介
• 3.1 积分方程
• 3.1.1 积分方程简介
• 3.1.2 积分方程的分类
• 3.1.3 积分方程常用解法
• 3.2 微分方程
• 3.2.1 微分方程简介
• 3.2.2 微分方程的分类
• 3.2.3 常微分方程常用解法
• 3.3 小波数值解应用于微积分方程的研究进展
• 3.4 本章小结
• 4. Haar小波方法
• 4.1 Haar小波的定义及其相关的性质
• 4.1.1 Haar尺度函数
• 4.1.2 Haar小波函数
• 4.2 积分方程的Haar小波数值解法
• 4.2.1 函数逼近
• 4.2.2 Haar小波的积分算子矩阵
• 4.2.3 线性与非线性积分方程的Haar小波方法
• 4.3 算例实验
• 4.4 本章小结
• 5. Shannon小波方法
• 5.1 Shannon尺度函数与Shannon小波函数
• 5.2 Shannon尺度函数与Shannon小波函数的相关系数
• 5.3 微分方程初边值问题的Shannon小波解
• 5.4 本章小结
• 6. 结论
• 致谢
• 参考文献
• 作者在读研期间的研究成果