加权Bergman空间上的紧Toeplitz算子

论文摘要

一般的线性算子理论及它们生成的算子代数理论在泛函分析成为一门独立的学科之前的上世纪二,三十年代前后,就已经得到了飞速的发展。同时伴随着它们在动力系统和量子物理学中的应用的深入,又为它们的进一步发展注入了新的活力。 作为一类特殊的算子,Toeplitz和Hankel算子之所以特别受到人们的重视,是因为,一方面,它们为一般的算子理论(代数)的研究提供了模型。同时,它们又与许多其他的数学分支,如:经典的函数论,指标理论,动力系统等,密切相关。此外,又为许多一般算子理论遗留下来的许多问题的解决提供了可能的途径,如:著名的不变子空间问题,就可以转换成Bergman空间上的算子M_z不变子空间格的“Saturated”性质的研究。正是因为如此,对Toeplitz算子和Toeplitz代数的研究,近年来十分活跃,并成为算子理论中的一重要组成部分。 与单位圆盘上的Hardy空间不同,对单位圆盘上的Bergman空间上的Toeplitz和Hankel算子的研究起步较晚,上世纪八十年代末九十年代初,才有人涉及。经过近年来的努力,取得了许多重要的进展,目前在单位圆盘上Toeplitz和Hankel算子的有界性,紧性,Schatten性以及对它们的谱都有了系统的研究([11])。同时,对多个Toeplitz算子积,Toeplitz算子与Hankel算子的积以及交换子的有界性及紧性也有了一些研究([1,2,7,9,10]等)。 在前人的基础上,本文主要讨论了在加权Bergman空间上Toeplitz和Hankel算子的积的基本性质和改进了部分结果。 本文第一章的主要内容是讨论了加权Bergman空间上的Toeplitz和Hankel算子的积的性质,同时得出了Toeplitz算子的积和Toeplitz与Hankel算子的积是紧算子的充分和必要条件。 本文的第二章主要研究了交换子,讨论了交换子[T_f~α,T_g~α]以及[T_f~α,T_g~α]是紧算子的充分和必要条件,并给出了Toeplitz算子是本质正规的充分必要条件。

论文目录

• 引言
• 第一章 加权Bergman空间上的Toeplitz和Hankel算子的紧性
• 第二章 加权Bergman空间上的本质交换子
• 2.1 引言
• 2.2 预备知识
• 2.3 一些基本引理
• 2.4 必要条件
• 2.5 等价性
• 2.6 定理的证明
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间已公开发表的论文
• 致谢