GM（1，1）模型的改进和应用

论文摘要

灰色系统理论经历了25年的发展后,在政治、经济和文化等各个领域都取得了极大的发展空间,由于其应用范围广、模拟精度高、计算过程简单而受到人们的普遍欢迎.GM(1,1)模型是灰色系统理论中应用范围最广泛的灰色动态模型,该模型构造简单,却能用于对复杂系统中主导因素特征值的模拟和预测,揭示事物的发展变化态势.此模型虽被人们广泛采用,但有些实际数据该模型并不能很准确地模拟,更有甚者该模型完全失真.经分析和研究知道,出现这种情况的原因是：(1)原始数据列不满足建模条件.(2)模型求解机制中采用的近似方法精度不够高.本文基于以上两个方面,做了如下四项的工作：(1)总结现有数据处理方法的基础上,提出综合变换法,该方法可以有效提高原始数据列的光滑性,使不符合建模要求的数列达到要求.(2)研究传统方法中参数的求解方法,发现误差的一个很大来源是数值积分的精度不够高.为此,文章提出了基于牛顿差值的三阶科特斯公式,该方法的精度高于传统方法中的梯形公式.(3)再次研究GM(1,1)模型的白化微分方程形式知道其与可分离变量的一阶常微分方程形式一致,由此引出了本文的第二种方法——分离变量法.(4)通过大量的数值实验发现,本文提出的综合变换法可以很好地改善原始数据列的光滑度,求解模型参数的两种方法具有较高的精度,是具有实际应用价值的方法.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 预测的意义
• 1.2 预测的方法
• 1.3 灰色系统理论
• 1.3.1 灰色系统理论的建立、应用和发展状况
• 1.3.2 灰色系统的分类
• 1.3.3 灰色系统数据的特征
• 1.3.4 灰色系统的两条基本原理
• 1.4 灰色系统理论的作用
• 1.5 灰色系统理论的研究任务
• 1.6 本文的主要工作
• 第2章 预备知识
• 2.1 灰性、灰概念
• 2.1.1 灰概念的表达方式
• 2.1.2 灰性
• 2.2 三种不确定理论
• 2.3 灰数、灰元、灰关系
• 2.3.1 灰数、白化值
• 2.3.2 灰元、灰参数、灰方程和灰矩阵
• 2.3.3 灰关系
• 2.3.4 灰变量、灰过程
• 2.4 灰预测数据
• 第3章 灰预测基础
• 3.1 灰色系统生成函数
• 3.1.1 序列
• 3.1.2 生成的意义和方法
• 3.1.3 累加生成与累减生成
• 3.2 级比
• 3.3 GM（1,1）模型的建立及相关性质
• 3.3.1 GM（1,1）模型的形式
• 3.3.2 GM（1,1）模型参数的确立
• 3.3.3 GM（1,1）模型的性质
• 3.3.4 GM（1,1）模型的精度检验
• 3.4 数据处理原则
• 3.4.1 GM（1,1）参数禁区
• 3.4.2 级比判断
• 3.4.3 级比界区
• 3.4.4 数据处理原则
• 第4章 模型的改进
• 4.1 数据处理方法
• 4.1.1 综合变换法
• 4.1.2 加入影响因子法
• 4.2 建模方法的改进
• 4.2.1 基于牛顿差值的三阶科特斯公式
• 4.2.2 分离变量法
• 4.3 其他方法的补充
• 4.3.1 三阶龙格库塔法
• 4.3.2 多次残差修正法Ⅰ
• 4.3.3 多次残差修正法Ⅱ
• 第5章 实例应用与精度检验
• 5.1 不同发展系数下数据列的建模精度比较
• 5.2 处理后的数据列的建模及精度检验
• 第6章 总结
• 参考文献
• 致谢