拟线性椭圆型方程解的存在性

论文摘要

本文主要研究了两类拟线性椭圆型方程非平凡解的存在性问题，一类是带奇异性的扰动Hardy-Sobolev算子方程，一类是具临界增长的N-Laplacian方程.所用的主要工具为临界点理论中的一个新的环绕定理.本文分为四章.在第一章中，详细叙述了论文课题的来源，并给出了本文的主要结果.在第二章中，简述了一些预备知识，详尽地给出了p-Laplace方程研究中用到的两类指标理论，总结了环绕定理的一些进展.最后，给出了文中所需的一个新的环绕定理.在第三章中，将p-Laplace方程对应的Hardy项作一扰动函数，在权函数具有一定的奇异性，且方程的非线性项满足次临界增长条件下，方程存在非平凡解.首先，讨论了对应特征值问题的第一特征值在扰动函数和权函数双重作用下的存在性、孤立性，第二特征值的各种表示以及发散特征值序列的存在性等性质，然后利用特征值的性质构造问题所需的环绕结构，从而利用环绕定理得到原问题在任意特征值参数为正时，非平凡解的存在性.在第四章中，方程的非线性项为由Trudinger-Moser不等式确定的临界增长项.对于此问题，第三章中所提供的锥形结构不再适用，我们需要对方程对应的特征值问题有更深入的结构探讨.利用相应的特征值问题解的正则性等性质，借助移向边界的集中技术，并通过构造合适的Moser函数，得到了问题所需的环绕结构，然后，验证了问题对应的泛函在一定的能量水平下满足紧性条件，从而由环绕定理得到问题在特征值参数大于第一特征值且不等于由2-上同调指标定义的特征值时，非平凡解的存在性.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• §1.1 问题的来源
• §1.2 本文主要工作
• 第二章 预备知识、指标理论和环绕定理
• §2.1 预备知识
• §2.2 指标理论
• §2.3 环绕定理
• §2.4 本文所需的环绕定理
• 第三章 一类带奇异权的扰动 Hardy-Sobolev 算子方程解的存在性
• §3.1 引言
• §3.2 方程对应的特征值问题
• §3.3 存在性定理的证明
• 第四章 一类具有临界增长的 N-Laplace 方程解的存在性
• §4.1 引言
• §4.2 锥的构造
• §4.3 紧性的验证
• §4.4 结论的证明与例子
• 符号表
• 参考文献
• 在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果
• 致谢