Klein-Gordon方程的新精确解

论文摘要

偏微分方程起源于18世纪,属于分析学的范畴,是在微积分出现后不久即兴起的一门学科,并且随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,微分方程的理论和应用也飞速发展并成为“数学的中心”,促进了其他相关数学分支的发展。由大量实际问题引出的的偏微分方程是自然科学的前沿和研究热点,是基础数学和应用数学研究的主流方向之一,具有重大的理论和实际意义,因而人们对偏微分方程研究和探索的兴趣越来越浓厚。偏微分方程的基本问题之一是寻找其精确解,这对人们了解自然现象的性质有很大的帮助,因而寻找偏微分方程的精确解就显得至关重要。本文考虑了求Klein-Gordon方程的精确解问题,该方程是与物理问题密切联系,且在孤立子理论的研究中起着重要作用的一类方程。在本文中,我们考虑了F-展开法、Jacobi椭圆函数展开法及其推广和指数函数法来求解非线性Klein-Gordon方程的精确解问题,并分别指出了Jacobi椭圆函数展开法和指数函数法在求解偏微分方程过程中的优点所在。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 Klein - Gordon 方程的物理背景和研究现状
• 1.2 研究目的
• 1.3 本文的主要工作
• 1.4 文章结构
• 第二章 非线性发展方程、行波解和孤立波的定义，F-展开法Jacobi 椭圆函数展开法、指数函数法和齐次平衡原则的介绍
• 2.1 非线性发展方程的定义
• 2.2 行波解、孤立波和孤立子的定义
• 2.3 Jacobi 椭圆函数的定义
• 2.4 对F-展开法、推广的Jacobi 椭圆函数法和指数函数法的简要介绍
• 2.5 对齐次平衡原则的简要介绍
• 第三章 对F-展开法、推广的Jacobi 椭圆函数展开法和指数函数法的介绍
• 3.1 运用F-展开法求解非线性发展方程的主要步骤
• 3.2 运用推广的Jacobi 椭圆函数展开法（csξ函数展开）求解非线性发展方程的过程
• 3.3 运用指数函数法求解非线性偏微分方程的主要步骤
• 第四章 运用 F-展开法、推广的 Jacobi 椭圆函数展开法和指数函数法求解Klein-Gordon 方程的过程
• 4.1 运用F-展开法求解Klein-Gordon 方程（1.1）的过程
• 4.2 运用推广的Jacobi 椭圆函数展开法（csξ函数展开）求解方程（1.2）的过程
• 4.3 运用指数函数法求解Klein-Gordon 方程（1.2）的过程
• 4.4 运用F-展开法求解方程（1.3）的过程
• 第五章 总结
• 参考文献
• 致谢