论文摘要
本文研究了（2+1）维长短波方程、（1+1）维随机长短波方程和非线性弹性动力学方程组的适定性及无穷维动力系统.得到了（2+1）维长短波方程的初值问题整体解的存在性、整体吸引子的存在性,并构造了其近似惯性流形；证明了（1+1）维随机长短波方程的周期边值问题随机吸引子的整体存在性以及离散系统随机吸引子的整体存在性；得到了非线性弹性动力学方程组Neumann型初边值外问题经典解的局部存在性.本文研究密切联系物理、力学和随机分析,具有重要理论意义和应用价值.全文内容共分七章.第一章,给出了长短波方程和非线性弹性动力学方程组的物理背景,介绍了随机微分方程的发展和应用,回顾了已有的部分研究成果,简述了本文主要的研究工作.第二章,考虑了一类广义的（2+1）维长短波方程的初值问题.利用一致先验估计和Galerkin方法,证明了这类广义的（2+1）维长短波方程周期边值问题和初值问题光滑解的整体存在性.第三章,证明了（2+1）维长短波方程初值问题整体吸引子的存在性.第一节,利用一致先验估计和Galerkin方法,证明了这类具耗散的（2+1）维长短波方程光滑解的整体存在性.第二、三、四节运用半群理论,得到了（2+1）维长短波方程整体吸引子的存在性.第四章,构造了（2+1）维长短波方程初值问题的近似惯性流形.第一节,利用Brezis-Gallouet不等式得到了一致先验估计.第二节,利用Galerkin方法,得到了整体光滑解的存在性.第三节,利用抽象微分方程理论,构造了（2+1）维长短波方程的近似惯性流形.第五章,考虑了（1+1）维随机长短波方程初值问题解的长时间行为,证明了该问题随机吸引子的整体存在性.第六章,考虑了（1+1）维随机长短波方程初值问题的格点系统,利用随机过程z（t）=eiW1（t）,把不确定方程转化成确定性方程,然后利用吸引子存在性的一般理论,证明了（1+1）维随机长短波方程格点系统随机吸引子的存在性.第七章,考虑了非线性弹性动力学方程组Neumann型初边值外问题经典解的局部存在性.为了证明这一结果,利用线性发展算子及积分-微分方程的方法,证明了具有（属Sobolev空间中的）变系数的二阶线性双曲型方程组Neumann型外问题解的存在性.