磁流体力学方程的高效数值方法研究

论文摘要

本文的主要目的是研究求解磁流体力学方程的高精度高分辨率无振荡的高效数值方法。磁流体力学（MHD）方程的数值解法在天体物理、受控热核反应、雷达系统通信、发电系统以及流动控制等领域都具有广泛的应用。本文的工作主要包括两个方面：一、基于磁流体力学方程与双曲型守恒律的紧密联系，把求解双曲型守恒律的两类高效差分方法推广应用于求解磁流体力学方程；二、改进已有的一类求解磁流体力学方程的交错型中心差分格式。其主要内容包括以下几个方面：1.将求解双曲型守恒律的MmB（Maximum and minimum Bounded）差分格式推广应用于求解磁流体力学方程。基于通量分裂和单元平均的分片线性重构，通过适当选取数值导数，并利用Runge-Kutta TVD时间离散方法，得到了一类求解一维磁流体力学方程的二阶精度高分辨率无振荡的MmB格式，然后利用维数分裂（dimension-by-dimension）方法将格式推广到二维情形。最后，给出了一系列典型数值实验，验证了格式的有效性。2.将Kurganov和Levy提出的求解双曲型守恒律的三阶半离散CWENO（Central weighted essentially non-oscillatory）格式推广应用于求解磁流体力学方程。基于三阶CWENO重构，得到了一类求解一维磁流体力学方程的三阶半离散CWENO格式。然后利用维数分裂方法将格式推广到二维情形。最后，给出了一系列典型数值实验，验证了格式的有效性。3.将Balbas、Tadmor和Wu提出的求解一维和二维磁流体力学方程的交错型无振荡中心差分格式进行改进，得到了一类求解一维和二维磁流体力学方程的二阶和三阶非交错型高分辨率无振荡中心差分格式。最后，给出了一系列典型数值实验，验证了格式的有效性。4.对本文所得到的三类格式进行了比较，指出了它们各自的优缺点，并提出了有待今后进一步开展的工作。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 磁流体力学方程的研究背景
• 1.2 国内外研究现状
• 1.3 磁流体力学方程的基本理论
• 1.4 本文的主要工作
• 第二章 磁流体力学方程的 MmB 格式
• 2.1 引言
• 2.2 一维磁流体力学方程的 MmB 格式
• 2.2.1 空间离散
• 2.2.2 时间离散
• 2.2.3 一维格式的 MmB 特性
• 2.3 二维磁流体力学方程的 MmB 格式
• 2.3.1 空间离散
• 2.3.2 时间离散
• 2.3.3 二维格式的 MmB 特性
• 2.4 数值实验
• 2.4.1 一维 MHD 激波管问题
• 2.4.2 二维 MHD 问题
• 2.5 小结
• 第三章 磁流体力学方程的 CWENO 格式
• 3.1 引言
• 3.2 一维磁流体力学方程的 CWENO 格式
• 3.2.1 一维三阶 CWENO 重构
• 3.2.2 一维三阶全离散中心格式构造
• 3.2.3 一维三阶半离散中心格式构造
• 3.2.4 将半离散格式转化为全离散格式—时间离散
• 3.3 二维磁流体力学方程的 CWENO 格式
• 3.3.1 二维三阶 CWENO 重构
• 3.3.2 二维三阶半离散中心格式构造
• 3.3.3 将半离散格式转化为全离散格式—时间离散
• 3.4 数值实验
• 3.4.1 一维 MHD 激波管问题
• 3.4.2 二维 MHD 问题
• 3.5 小结
• 第四章 磁流体力学方程的中心差分格式
• 4.1 引言
• 4.2 交错型中心格式概述
• 4.2.1 交错型中心格式构造
• 4.2.2 一阶 LxF 格式
• 4.2.3 二阶 NT 格式
• 4.2.4 三阶 LT 格式
• 4.3 一维磁流体力学方程的二阶非交错型中心差分格式
• 4.3.1 一维二阶交错型格式重构
• 4.3.2 一维二阶非交错型格式构造
• 4.4 一维磁流体力学方程的三阶非交错型中心差分格式
• 4.4.1 一维三阶交错型格式重构
• 4.4.2 一维三阶非交错型格式构造
• 4.5 二维磁流体力学方程的二阶非交错型中心差分格式
• 4.5.1 二维二阶交错型格式重构
• 4.5.2 二维二阶非交错型格式构造
• 4.6 数值实验
• 4.6.1 一维 MHD 激波管问题
• 4.6.2 二维 MHD 问题
• 4.7 小结
• 第五章 总结与展望
• 5.1 三类格式的比较
• 5.2 工作展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文
• 在学期间主要参与的研究项目
• 致谢