三维Minkowski空间中直线汇的若干性质

论文摘要

直线汇理论是古典微分几何的一个重要研究领域.本文中我们研究了三维Minkowski空间中直线汇的理论,定义了三维Minkowski空间中线汇的基本形式和基本元素。首先,根据三维Minkowski空间中光线的类型,将直线汇分为类空线汇和类时线汇。其中我们主要讨论了类时线汇的一些基本性质,得到了关于类时线汇配分参数的一个定理如下: 1.定理3.7 在类时线汇中,从光线l（u,v）引线汇的两个主要曲面对应的方向分别为d1u:d1v,d2u:d2v.设第三个方向du:dv与方向d1u∶d1v成定角θ,设q为一条光线的中心与中点间的距离,p为配分参数。则沿方向du∶dv所作的直纹面的p,q和H必满足 H/2-p=q tan 2θ （1）本文的主要结论是苏步青先生在1927年所得到结论的一个平行推广。其次,我们讨论了三维Minkowski空间中法曲面是类时曲面的法线汇,当法线汇的焦曲面间的对应是曲率线对应时法曲面所具有的形式,得到了如下定理: 2.定理4.1 在M13中,如果法线汇的两焦曲面间的对应是曲率线对应时,则: （a） S是一个球面曲面; （b） S与平面是等距对应的; （c） S与一个旋转曲面是等距对应的; （d） S的第一基本形式具有ds2=（H2+K）（du2+dv2）的形式,其中K,H分别是曲面S的Gauss曲率和平均曲率.

论文目录

1 绪论

1.1 历史回顾

1.2 理论价值和研究方法

1.3 本文的主要工作

2 三维Minkowski空间预备知识

2.1 三维Minkowski空间中的向量

2.1.1 三维Minkowski空间中向量及向量的内积和外积

2.1.2 三维Minkowski空间中向量的夹角

2.1.3 三维Minkowski空间中的向量的正交

2.2 三维Minkowski空间中的三类曲线

2.3 三维Minkowski空间中的三类平面

2.4 三维Minkowski空间中的曲面

2.4.1 三维Minkowski空间中的曲面及参数表示

2.4.2 三维Minkowski空间中曲面的分类

2.4.3 三维Minkowski空间中的曲面的一些基本量

2.4.4 三维Minkowski空间中的直纹面

3 三维Minkowski空间中的直线汇

3.1 直线汇的基本形式

3.2 直线汇的基本元素

3.2.1 焦曲面

3.2.2 极限点

3.3 主要定理

4 三维Minkowski空间中的类时法线汇

4.1 预备知识

4.2 主要定理及其证明

参考文献

读研期间完成论文

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