同伦理论在非线性动力系统中的应用研究

论文摘要

论文将代数拓扑中的同伦理论引入到动力系统的分析中,提出一种可以求解强非线性动力系统响应的方法,即PE-HAM方法。通过构造同伦映射,将对原来强非线性动力系统的求解问题转化为对一组线性微分方程的求解。内容如下: 第一章,我们对非线性动力系统的发展现状进行了归纳,总结了确定性拟线性动力系统和随机系统的研究现状和存在的问题;总结了强非线性动力系统在确定性谐和激励或者在随机激励下的研究现状和存在的问题;并且简单介绍了拓扑学中同伦论的历史和思想,为后面提出新的解析方法进行理论上的铺垫。 第二章,将同伦理论引入非线性动力系统,提出了一种基于参数展开的新的同伦分析技术（PE-HAM）。研究了保守的Duffing系统的响应问题,得到了零阶和一阶近似解。在与精确周期的比较中,可以得出:在非线性强度α很大时,近似周期与精确周期的误差也非常地小。数值模拟,说明了新方法的有效性。 第三章,将PE-HAM方法进行了推广,并用此方法研究了带有激励项的耗散的Duffing系统的响应问题,得到了一阶近似解。使用数值模拟验证了新方法的有效性。 第四章,本章进一步推广了PE-HAM方法,使之适用于同时带有谐和与随机噪声激励的强非线性动力系统。并研究了受到谐和与Gaussian白噪声激励的耗散的强非线性Duffing振子,将所得结果和四阶Runge-Kutta数值解以及Wu andY K Lin,1984所得精确平稳解进行了比较,结果说明了PE-HAM方法的有效性,以及在求解强非线性随机动力系统响应方面所具有的巨大潜力。 第五章,研究了谐和激励与随机噪声作用下具有φ6势的Duffing振子的动力学性质:首先,由PE-HAM方法推导了系统的近似周期解,得到了近似解过程和稳态概率密度的解析表达式;其次,结合随机Melnikov方法研究了该系统的混沌运动,推导了系统发生混沌的必要条件:并对上面两种情况分别进行了数值模拟加以验证。 最后,在第六章给出了全文的总结和有待进一步展开的研究。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 目录
• 第一章 绪论
• 1.1 引言与研究现状
• 1.1.1 拟线性系统的响应问题
• 1.1.2 强非线性系统的响应问题
• 1.2 同伦理论概述
• 1.2.1 同伦论的发展历程
• 1.2.2 同伦论原理
• 1.2.3 同伦分析技术（HAM）和同伦摄动法（HPM）思想
• 1.3 本文主要内容
• 第二章 同伦理论在强非线性自由振动系统中的应用
• 2.1 基本思想
• 2.2 PE-HAM方法在保守DUFFING系统中的应用
• 2.3 数值模拟
• 2.4 结论
• 第三章 同伦理论在强非线性耗散振动系统中的应用
• 3.1 基本思想
• 3.2 PE-HAM方法在DUFFING系统中的应用
• 3.3 数值模拟
• 3.4 结论
• 第四章 同伦理论在强非线性随机动力系统中的应用
• 4.1 基本思想
• 4.2 DUFFING振子的响应研究
• 4.3 数值模拟
• 4.4 结论与讨论
• 6势的DUFFING振子的动力学性质'>第五章 谐和激励与随机噪声作用下具有φ⁶势的DUFFING振子的动力学性质
• 6势DUFFING振子的响应'>5.1 谐和与随机噪声作用下φ⁶势DUFFING振子的响应
• 5.2 随机MELNIKOV过程
• 5.3 数值计算
• 5.3.1 系统的响应
• 5.3.2 系统的分忿与混沌
• 5.4 结论与讨论
• 第六章 结束语
• 6.1 论文总结
• 6.1.1 本文主要工作
• 6.1.2 论文创新之处
• 6.2 有待进一步研究的工作
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文
• 致谢