几类高维非线性系统的分岔与混沌问题研究

论文摘要

在物理、化学、生物及工程等领域中,许多问题的动力学方程都可以约化为高维非线性系统。由于高维非线性系统具有更复杂、更丰富的动力学性质,其研究难度比线性系统以及低维的非线性系统要大得多,因此受到许多学者和专家的关注,也一直是研究的热点和前沿问题,特别是高维非线性系统的分岔与混沌动力学的研究。本文主要利用规范型理论、全局摄动法、能量相位法、Silnikov方法等解析方法和数值方法研究几类高维非线性动力系统的分岔与混沌问题。首先,利用规范型理论和数值方法,研究了一类3:1内共振和组合参激共振条件下大范围直线运动梁的稳定性与局部分岔问题,分别对第一阶、第二阶模态主参激共振以及第一、二阶模态间组合参激共振条件下的梁系统进行稳定性与分岔分析,给出了系统在各种特征值情况下的临界分岔曲线、分岔解及其稳定性,得到了这类模型的丰富的动力学性质,并用数值方法验证了理论分析所得结果的正确性。其次,研究了双耦合参数激励下的非线性Van der Pol振子的全局分岔与混沌问题。利用全局摄动法研究了双耦合参数激励下的非线性Van der Pol振子的Silnikov型单脉冲轨道的存在性及其导致的Silnikov型混沌运动,并利用能量相位法研究了该系统的多脉冲跳跃同宿轨道的存在性及其导致的Smale马蹄意义下的混沌,得到了一些新的有意义的动力学现象。然后,对两类非线性悬索系统,研究了其单脉冲跳跃轨道、多脉冲跳跃轨道及它们所导致的混沌问题。利用全局摄动法研究了这两类非线性悬索系统的单脉冲轨道的存在性及其导致的Silnikov型混沌运动,利用能量相位法研究了这两类非线性悬索系统的Silnikov型多脉冲轨道的存在性及其导致的Smale马蹄意义下的混沌,得到了一些新的动力学行为。最后,利用第一Lyapunov系数和Silnikov方法详细研究了Rucklidge系统和一个具有四翼混沌吸引子的三维系统的Hopf分岔与混沌,用待定系数法证明了这些系统的同宿轨道和异宿轨道的存在性,从而存在Smale马蹄意义下的混沌。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景和研究概况
• 1.1.1 引言
• 1.1.2 研究现状和研究方法
• 1.2 预备知识
• 1.2.1 动力系统的稳定性理论
• 1.2.2 分岔理论
• 1.2.3 规范性理论
• 1.2.4 Silnikov 方法
• 1.2.5 近可积Hamilton 系统的全局摄动法
• 1.3 本文研究内容
• 第二章 内共振条件下直线运动梁的稳定性与分岔分析
• 2.1 模型建立
• 2.1.1 第一阶模态主参激共振的情况
• 2.1.2 第一、二阶模态间组合参激共振的情况
• 2.1.3 第二阶模态主参激共振的情况
• 2.2 第一阶模态主参激共振时系统的稳定性与分岔分析
• 2.2.1 1:1 共振时的分岔情况
• 2.2.2 单零特征根和一对纯虚特征根的情况
• 2.2.3 双零特征根和一对纯虚特征根的情况
• 2.2.4 三重零特征根和一个负特征根的情况
• 2.3 第一、二阶模态间组合参激共振时系统的稳定性与分岔分析
• 2.3.1 系统关于阻尼参数的稳定性与分岔分析
• 2.3.2 系统关于调谐参数的稳定性与分岔分析
• 2.4 第二阶模态主参激共振时系统的稳定性与分岔分析
• 2.4.1 初始平衡解
• 2.4.2 单模态解——Hopf 分岔解
• 2.4.3 双模态解——拟周期解
• 2.5 本章小结
• 第三章 双耦合参数激励下的Van der Pol 振子的全局动力学
• 3.1 问题描述
• 3.2 多尺度法和规范型分析
• 3.2.1 多尺度法
• 3.2.2 规范型
• 3.3 Silnikov 型单脉冲轨道的存在性
• 3.3.1 未摄动系统的动力学
• 3.3.2 摄动系统的动力学
• 3.3.3 Silnikov 型单脉冲轨道的存在性
• 3.4 Silnikov 型多脉冲轨道的存在性
• 3.4.1 未摄动系统的动力学
• 3.4.2 摄动系统的动力学
• 3.4.3 能量差函数
• 3.4.4 能量差函数的零点集
• 3.4.5 Silnikov 型多脉冲轨道的存在性
• 3.5 本章小结
• 第四章 两类悬索系统的全局分岔与混沌动力学
• 4.1 引言
• 4.2 1:1 内共振条件下强迫振动的悬索系统的全局动力学
• 4.2.1 模型建立
• 4.2.2 标准方程
• 4.2.3 未摄动悬索系统的动力学
• 4.2.4 摄动悬索系统的动力学
• 4.2.5 高维Melnikov 函数
• 4.2.6 多脉冲轨道的存在性
• 4.3 具有小平衡态曲率和水平支撑的悬索系统的全局分岔和混沌动力学
• 4.3.1 模型建立
• 4.3.2 标准方程
• 4.3.3 未摄动系统的动力学
• 4.3.4 摄动系统的动力学
• 4.3.5 单脉冲轨道的存在性
• 4.3.6 多脉冲轨道的存在性
• 4.4 本章小结
• 第五章 两类三维系统的Silnikov 混沌分析
• 5.1 Rucklidge 系统的Hopf 分岔与Silnikov 混沌
• 5.1.1 引言
• 5.1.2 平衡点分析
• 5.1.3 Hopf 分岔分析
• 5.1.4 异宿轨道产生的混沌
• 5.1.5 同宿轨道产生的混沌
• 5.2 一类具有四翼混沌吸引子的三维系统的Silnikov 混沌分析
• 5.2.1 引言
• 5.2.2 平衡点分析
• 5.2.3 由和之间的异宿轨道产生的混沌
• 5.2.4 由和之间的异宿轨道产生的混沌
• 5.2.5 由到自身的同宿轨道产生的混沌
• 5.3 本章小结
• 第六章 总结与展望
• 6.1 主要结论
• 6.2 工作展望
• 参考文献
• 致谢
• 在学期间的研究成果及发表的学术论文
• 附录