基于EEP法的平面变截面杆件自由振动自适应分析

论文摘要

变截面杆件在各工程领域中有着广泛应用,对其自由振动做高效精确的分析具有重要意义。随着数值计算的发展,自适应求解功能正成为各种数值方法所竞相追求的目标。本文基于具有最佳超收敛阶的超收敛算法——单元能量投影（Element Energy Projection,简称EEP）法凝聚格式,对平面变截面杆件的自由振动问题建立了一套自适应分析方法,并成功将其推广应用至求解一般的2阶Sturm-Liouville（简称SL）问题和4阶SL问题中。本文首先以变截面杆件的轴向自由振动问题为模型,通过一维Ritz有限元C0问题EEP法凝聚格式的自适应算法求解杆件单元的动力形函数,探索和验证了基于EEP法的自适应算法在振动问题求解中的可行性。在这一基础上,通过对动力刚度法与精确有限元法等价性的深入认识,本文开展了下列工作:第一,将EEP法凝聚格式的自适应算法和Wittrick-Williams算法相结合,建立了杆件动力分析通用的自适应求解方案、实施策略和具体算法,并用于变截面杆件轴向自由振动和Euler梁横向自由振动的求解中。第二,推导了变截面Timoshenko曲梁自由振动的微分控制方程。基于2阶常微分方程组EEP法凝聚格式,将上述自适应求解思想用于求解变截面Timoshenko直梁横向自由振动和曲梁自由振动的常微分方程组特征值问题。第三,通过对2阶和4阶SL问题力学模型的分析,提出了SL问题中边界条件、负特征值问题的处理方案,并将杆件自由振动的自适应求解方案推广至SL问题的求解中。本文编制了上述问题的自适应求解程序,并对各种问题中代表性的算例进行了分析。文中的理论研究和数值试验表明,本文方法不依赖于用户提供的初始网格,程序能自动给出满足用户误差要求的频率（特征值）和振型（特征函数）,且任一点的位移解和内力解均具有和单元结点位移解相当的精度。本文方法几乎克服了其它现有方法的缺陷,具有精确、稳定、高效、实施方便等特点。本文自适应算法的思想为求解变截面杆系结构自由振动问题及一般的常微分方程组特征值问题等开辟了新的途径。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 问题背景
• 1.2 求解方法
• 1.2.1 有限元法
• 1.2.2 动力刚度法
• 1.2.3 常微分方程求解器COLSYS
• 1.2.4 Sturm-Liouville 问题求解软件包
• 1.3 有限元法的超收敛算法与自适应分析
• 1.3.1 超收敛算法
• 1.3.2 EEP 超收敛算法
• 1.3.3 自适应有限元法
• 1.3.4 基于EEP 法的有限元自适应算法
• 1.4 本文的研究目的和内容
• 1.4.1 研究目的
• 1.4.2 研究内容
• 第2章 动力形函数的自适应求解
• 2.1 引言
• 2.2 模型问题及EEP 法
• 2.2.1 问题分析
• 0 问题EEP 法凝聚格式的自适应求解'>2.2.2 C⁰ 问题EEP 法凝聚格式的自适应求解
• 2.3 求解策略
• 2.3.1 整体求解方案
• 2.3.2 动力刚度矩阵计算
• 2.3.3 自适应求解参数的研究
• 2.3.4 质量矩阵计算
• 2.4 数值算例
• 2.5 小结
• 第3章 杆件轴向自由振动（2 阶SL 问题）自适应分析
• 3.1 引言
• 3.2 若干问题的再研究
• 3.2.1 动力刚度法与精确有限元法的等价性
• 3.2.2 凝聚整体刚度矩阵的特性
• 3.3 频率区间的确定
• 3.3.1 J 的计算
• 3.3.2 动力形函数计算参数的选取
• 3.3.3 振型初始网格的生成
• 3.3.4 频率划界算法
• 3.4 频率和振型的求解
• 3.4.1 自适应逆幂迭代
• 3.4.2 自适应子空间迭代
• 3.4.3 迭代特点
• 3.4.4 数值算例
• 3.4.5 求解小结
• 3.5 2 阶STURM-LIOUVILLE 问题
• 3.5.1 力学模型
• 3.5.2 整体求解策略
• 3.5.3 边界条件的引入
• 3.5.4 负特征值问题的处理
• 3.5.5 数值算例
• 3.6 小结
• 第4章 EULER 梁横向自由振动（4 阶SL 问题）自适应分析
• 4.1 引言
• 4.2 模型问题
• 4.2.1 问题分析
• 1 问题EEP 法凝聚格式'>4.2.2 C¹ 问题EEP 法凝聚格式
• 4.3 横向自由振动
• 4.3.1 J 的计算
• 4.3.2 频率划界若干问题
• 4.3.3 频率和振型的求解
• 4.3.4 数值算例
• 4.4 4 阶STURM-LIOUVILLE 问题
• 4.4.1 求解策略
• 4.4.2 边界条件的处理
• 4.4.3 数值算例
• 4.5 小结
• 第5章 TIMOSHENKO 梁横向自由振动自适应分析
• 5.1 引言
• 5.2 模型问题
• 5.2.1 问题分析
• 5.2.2 2 阶常微分方程组EEP 法凝聚格式
• 5.3 求解策略
• 5.3.1 动力刚度系数的计算
• 5.3.2 网格生成方案
• 5.3.3 振型和频率的迭代
• 5.4 数值算例
• 5.5 小结
• 第6章 TIMOSHENKO 曲梁自由振动自适应分析
• 6.1 引言
• 6.2 方程的建立与求解
• 6.2.1 振动方程的推导
• 6.2.2 问题分析
• 6.2.3 求解策略
• 6.3 数值算例
• 6.4 小结
• 第7章 总结和展望
• 7.1 本文工作的总结
• 7.2 进一步工作的展望
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果