两类动力学问题数值方法的研究

论文摘要

Euler-Lagrange方程是描述多体动力学系统的基本方程之一,通常利用指标3的微分/代数方程组描述。其数值解法的研究和应用是近30年来微分/代数方程组数值计算研究的重要课题。本文从两类动力学模型出发研究Euler-Lagrange方程的数值计算问题,具体工作为:（1）利用Greengard和Huang等提出的谱积分离散技巧,结合Krylov迭代方法,设计了求解高指标微分/代数方程的谱离散方法使之适合于Euler-Lagrange方程的数值求解,与传统的Runge-Kutta方法比较,算法有较高的计算效率,可以达到任意精度并具有A稳定性。（2）针对多刚体动力学的Euler-Lagrange方程组的求解问题,利用零空间方法进行降维,并结合上述谱积分算法给出具有谱精度的数值离散格式,达到了提高计算效率和数值精度的目的。（3）引入四元数给出了超细长弹性杆的Kirchhoff模型的拟动力学方程组。现有的结果中,这种模型是用Euler角（ψ,θ,φ）为变量描述的。由于当θ=kπ时Euler角出现奇点,给数值计算造成困难。我们利用四元数代替Euler角,导出了广义Lagrange函数和广义Hamilton函数,在此基础上建立了以四元数为变量的描述超细长弹性杆的Euler-Lagrange方程和广义Hamilton方程。并作为我们计算Euler-Lagrange方程谱积分方法的应用算例给出了数值分析结果。（4）利用Kirchhoff比拟方法,导出了任意截面弹性杆曲面的微分/积分方程组,并给出相应的四元数表述,使之与用Euler参数表示的弹性杆截面的Kirchhoff方程相适应。这一曲面模型和相应算法可以作为分析DNA弹性杆的接触和缠绕问题的约束方程组。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 引言
• 第一章 求解微分/代数方程的谱方法
• 1.1 相关概念与方法
• 1.2 求解微分/代数方程组的谱方法
• 1.3 数值例子
• 第二章 多体动力学Euler-Lagrange方程的Krylov延迟修正方法
• 2.1 多体动力学系统的基本模型
• 2.2 求解基本模型的数值方法
• 2.3 数值例子
• 第三章 Kirchhoff弹性杆动力学比拟的四元数方法
• 3.1 弹性杆的模型
• 3.2 弹性杆的拟动力学原理
• 3.3 弹性杆模型的数值仿真
• 结论
• 参考文献
• 攻读学位期间的研究成果
• 致谢