几类微分系统多解的存在性

论文摘要

近年来,在数学、物理、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制论等许多科学领域出现了各种各样的非线性问题,在解决这些非线性问题的过程中,逐渐产生了现代分析数学中非常重要的方法和理论,主要包括：半序方法、拓扑度方法、锥理论和变分方法等,成为当今解决科技领域中层出不穷的非线性问题所需的富有成效的理论工具.本文主要利用锥理论,不动点定理和不动点指数理论在Banach空间中研究非线性微分系统边值问题多解的存在性.有关微分方程边值问题解的存在性,正解的存在性和唯一性从二十世纪八十年代以来得到了广泛的研究（见文献[17],[23],[24],[30]）.在此基础上,本文更进一步研究微分方程组边值问题多解的存在性.本文共分三章,第一章讨论了下列二阶非线性微分方程三点边值问题的多解的存在性,其中f∈C（（0,1）×[0,+∞）×（-∞,+∞）,（0,+∞）),g∈C（（0,1）×[0,+∞）×（-∞,+∞）,（-∞,+∞）),0<η<1,α>0且αη<1,文[1]和[15]考虑了二阶非线性微分方程二点边值问题解的存在性,文[24]又研究了二阶三点耦合边值问题二个解的存在性.本章在此基础上,又受文[26]的启发,进行了一定的推广,考虑了如上的二阶非线性常微分方程组边值问题.对于这个问题的研究,据我们所知至今还没有相关的文献.本章利用不动点指数理论,在只要求f是非负的,而g是可以变号的条件下,提出适当的条件,得到上面的方程组多解的存在性（见定理1.2.1）.最后给出例子说明定理的条件是合理的.第二章讨论了四阶非线性微分方程组积分边值问题三个解的存在性,其中（1）.f,g∈C（[0,1]×[0,+∞）,[0,+∞)),对（?）t∈[0,1],g（t,x）关于x是单调递增的.（2）（?）t∈[0,1],a（t）,b（t）≥0；∫01a（t）dt,∫01b（t）dt∈（0,1）.有关微分方程具有积分边值条件的非局部问题在1960年被Bitssdze首先提出并加以研究,此后Samar skili和Il’in也开始研究了这个问题.近年来,这类问题受到越来越多的关注（见文献[3],[5][27]及参考文献）.文献[28]讨论了一类具有非局部边界条件的四阶非线性微分方程的对称解的存在性.受以上文献的启发,该章利用文献[20]所得到的不动点定理研究了如上的微分系统三解的存在性（见定理2.2.1）,并举例说明了其条件的合理性.最后一章利用Leggett-Wiliams不动点定理,研究了四阶非线性微分方程组边值问题三个解的存在性,其中a≥0,b≥0,c,d≥0,ac+bc+ad>0且满足,本章受文献（[6],[13],[14]及其参考文献）的启发,在适当的条件下,得到了定理3.2.1,并给出了一个例子来说明条件的合理性.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 一类二阶非线性微分方程三点边值问题多个正解的存在性
• 1.1 引言及预备知识
• 1.2 正解的存在性
• 1.3 应用
• 第二章 一类四阶非线性微分方程组积分边值问题三解的存在性
• 2.1 引言及准备工作
• 2.2 主要结果
• 2.3 应用
• 第三章 一类四阶非线性微分方程组极限边值问题三解的存在性
• 3.1 引言和预备知识
• 3.2 主要结论
• 3.3 应用
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表或接受发表的论文