Riesz分数阶反应—扩散方程的隐式有限差分近似

论文摘要

分数阶微分方程目前已在物理,工程和金融等领域得到广泛的应用。由于分数阶微积分具有记忆和遗传特性,与整数阶方程相比,分数阶微分方程能更精确地描述客观世界,因此对分数阶微分方程的研究,不但具有重要的理论价值,而且还有十分广泛的应用价值。然而分数阶微分方程的解析解很难求出,于是越来越多的研究者对分数阶微分方程的数值解法产生了浓厚的兴趣。空间变量含有分数阶导数的反应—扩散方程来源于分子扩散模型,空间分数阶微分方程基本理论是由Feller在1952年提出的。目前对于空间分数阶反应—扩散方程数值解法方面的研究主要是借助于Riemann-Liouville定义和Grunwald-Letnikov定义的等价性,利用移位Grunwald公式建立此类方程的差分格式。空间Riesz分数阶导数也称为Riesz位势算子,它含有双侧的Riemann-Liouville分数阶导数。本文研究求解空间Riesz分数阶反应—扩散方程初边值问题的差分方法,对分数阶导数项采用直接差分离散的方法,构造出一个截断误差阶为O（h2-β）+O（τ）（1<β≤2）阶的隐式差分格式,论证了隐式差分格式按初值及右端无条件稳定和无条件收敛性质,并进一步证明当初边值问题满足一定条件时收敛阶将提高到1阶。本文的内容安排如下：第一章,介绍分数阶微积分的产生,发展及研究状况,并简单介绍有限差分法。第二章,介绍分数阶导数的定义,性质以及反应一扩散方程。第三章,讨论空间Riesz分数阶反应—扩散方程初边值问题隐式差分格式的构造。第四章,对差分格式的系数矩阵进行估计,证明隐式差分格式是无条件稳定和无条件收敛的,并进一步证明当初边值问题满足一定条件时收敛阶将提高到1阶。第五章,通过数值计算实例来验证本文所构造的隐式差分格式的稳定和收敛性质。第六章,总结了本文所做的工作以及对今后研究工作的展望。

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 分数阶微积分概述
• 1.1.1 分数阶微积分产生背景
• 1.1.2 分数阶微积分发展状况
• 1.1.3 分数阶微分方程数值解法的研究成果
• 1.2 有限差分法概述
• 1.2.1 有限差分法的产生与发展
• 1.2.2 有限差分法的基本问题
• 1.3 本文主要工作
• 第2章 预备知识
• 2.1 分数阶导数定义
• 2.2 分数阶导数性质
• 2.3 反应-扩散方程简介
• 第3章 空间Riesz分数阶反应-扩散方程的隐式差分格式
• 3.1 分数阶反应-扩散方程的差分方法
• 3.2 隐式差分格式的构造
• 第4章 隐式差分格式分析
• 4.1 系数矩阵估计
• 4.2 稳定性分析
• 4.3 收敛性分析
• 第5章 数值算例
• 第6章 总结与展望
• 参考文献
• 致谢