重心有限元法及在非均质材料有效模量数值模拟中的应用

论文摘要

依据非均质材料的细观几何结构对材料进行数值模拟，能够获得材料真实的力学性能。采用多边形单元对模拟材料进行网格划分，可以方便有效的实现非均质材料力学性能的数值模拟。经典有限元法难以在多边形单元上构造出满足位移协调性要求的多项式形式的插值函数，即便是在四边形单元上，也需要借助于等参变换技术的应用。本文基于几何方法直接在多边形上构造出多边形单元的平均值坐标形式插值函数，提出用于非均质材料力学性能模拟的重心有限元法。本文以重心有限元方法的建立为主线，开展了以下工作的研究：一、采用几何方法构造出多边形单元上的平均值坐标插值形函数。证明了多边形单元上平均值坐标插值的有关性质。给出了平均值坐标插值的代数表达式和计算流程，利用该表达式可以方便地编写计算程序。构造的平均值坐标插值与Laplace型插值相比，不需要进行等参变换；与Wachspress型插值相比，不含有待定参数，方便程序的编写。二、对Wachspress型插值进行了误差估计。给出了Wachspress插值形函数的简化公式，利用Wachspress插值形函数的性质和二元函数的Taylor展开式，给出了Wachspress插值的误差估计不等式。Wachspress插值的误差随单元尺寸的缩小而缩小，说明如果利用Wachspress插值作为多边形有限元的试函数，随着单元尺寸的缩小，多边形有限元的解将收敛于精确解。三、以多边形单元上的平均值坐标插值作为试函数，采用Galerkin法建立了求解弹性力学问题的重心有限元法。数值算例表明，重心有限元法在求解弹性力学问题时得到的数值解有较高的精度。与传统有限元相比，减少了单元节点和单元的数量，减少了前处理的工作量，提高了计算效率。四、利用重心有限元法对非均质材料的有效模量进行了数值模拟。以代表单胞为计算模型，用多边形单元计算讨论了增强相的细观几何结构对复合材料有效模量的影响。计算结果表明，增强相的尺寸是影响材料有效模量的最基本的因素。除去尺寸因素，增强相的方位和形状也是对材料有效模量有较大影响的因素。方位因素所产生的效应较之形状因素更加明显。基于多边形单元平均值坐标插值的重心有限元法，克服了传统有限元法对多边形单元难以构造满足协调性要求的多项式形式位移插值的难题。由于采用多边形单元，使得区域网格划分更加灵活，实现基于材料真实结构的数值模拟，使计算结果更加接近材料的真实性能。重心有限元法在非均质材料的数值模拟中具有较大的优势。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 研究现状
• 1.3 研究进展评述
• 1.4 主要研究内容
• 第二章 多边形单元插值函数的误差估计
• 2.1 引言
• 2.2 Wachspress 型插值函数的表达式及改进
• 2.3 Wachspress 插值的误差估计
• 2.4 本章小结
• 第三章 基于平均值插值的重心有限元法
• 3.1 引言
• 3.2 多边形单元平均值坐标的构造及其性质
• 3.3 弹性力学基本方程
• 3.4 重心有限元法
• 3.5 数值积分方案与数值算例
• 3.6 本章小结
• 第四章 增强相尺寸对复合材料有效模量的影响
• 4.1 引言
• 4.2 有效模量的定义
• 4.3 计算模型和边界条件
• 4.4 复合材料的有效模量
• 4.5 本章小结
• 第五章 增强相细观几何结构对有效模量的影响
• 5.1 引言
• 5.2 计算模型
• 5.3 方法有效性的验证
• 5.4 细观几何特征对有效模量的影响
• 5.5 本章小结
• 第六章 结论与展望
• 6.1 结论
• 6.2 展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间论文发表及科研情况