一类本原群的次轨道结构

论文摘要

设群G是有限集合Ω上的传递置换群。对任意α∈Ω,令G_α={g∈G|α~g=α}是G关于点α的稳定子群。我们称G_α在Ω上的轨道为G的次轨道,其中称{α}为平凡的次轨道。一个Ω的非空子集△称为G的一个块,如果:△~x=△或者△~x∩△=φ,(?)x∈G。显然单点集是G的块,称为平凡块。如果G只有平凡块,则称G是本原的。众所周知,G是本原群当且仅当G的每个点稳定子群都是G的极大子群。 决定一个置换群的次轨道结构是置换群理论的基本问题之一,它在组合结构的研究中有着重要的应用。然而,即使对于本原群,其次轨道的决定也是一个非常困难的问题,它依赖与人们对抽象群本身结构的了解和一些组合方法的应用。在近几年发表的不少论文中,人们对单群PSL(2,p)有关的本原置换表示做了大量的工作,但对于单群PSL(3,p)的有关本原表示的结果却知之甚少。在本文中,我们研究了PSL(3,p)在其极大子群PSL(2,7)的右陪集集合的(本原)右乘置换表示,决定了其次轨道结构。需要说明的是,p的取值不同使计算非常复杂,本文只给出了p≡1(mod 168)的情形,而其它情况类似。本文的出发点是Bloom关于PSL(3,p~k)的极大子群结构的刻画。为了达到本文的目的,我们必须对PSL(3,p)的的一般(非极大)子群间的关系做进一步的刻画。我们采用的方法来自于近年来有关对称图分类的文献中大量使用的计算方法。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1.引言
• 2.预备知识
• 2.1 有限群的一些基本概念和结果
• 2.2 线性群结构的基本结果
• 3.关键引理
• 4.主要定理证明
• 4.1 长为7的次轨道
• 4.2 长为8的次轨道
• 4.3 长为14的次轨道
• 4.4 长为21的次轨道
• 4.5 长为24的次轨道
• 4.6 长为28的次轨道
• 4.7 长为42的次轨道
• 4.8 长为56的次轨道
• 4.9 长为84的次轨道
• 4.10 长为168的次轨道
• 参考文献
• 致谢