关于一类丢番图方程整数解的讨论与研究

论文摘要

凡是变数个数多于方程个数且取整数值的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）。不定方程（又称丢番图方程）是数论中一个十分重要的研究课题。这一研究方向与代数、组合数学、计算机科学等学科有着密切的联系。它的研究成果不仅对数学各个分支的发展起着重要的作用,而且对其它非数学学科（如物理学,经济学）的研究有重大的应用价值。因此,不定方程一直是众多数学工作者热衷研究的对象。 1999年,Schmidt A.L.在研究四元数的丢番图逼近中,将所研究的问题转化为求解不定方程 2x2+2y2+3z2=1+6xyz的整数解问题。从而启发人们考虑一般的方程 ax2+by2+cz2=m+dxyz,的整数解,以期在多种领域得到广泛应用。 本论文的主要工作是,首先给出了求解丢番图方程ax2+by2+cz2=m+dxyz的两种方法,简单同余法和Pell’s方程法。 其次,讨论了当a,6,c,d ∈ N,m为非负整数,a|d,b|d,c|d时,不定方程ax2+by2+cz2=m+dxyz的整数解问题。证明了当m>4时,这一方程没有基础解。同时分别给出了m=0,1,2,3,4时所有可能的基础解。进而利用基础解,得到它的全部整数解。 最后,论文考虑了关于 ax2+by2+cz2=x+dxyz的求解问题,给出了方程满足条件 1≤x≤dyz/2a,1≤y≤dxz/2b,1≤z≤dxy/2c和 x≤min(b/ay1/2,c/az1/2)的整数解。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 序言
• 第一章 概述
• §1.1 方程概述
• §1.2 丢番图方程的主要成就
• §1.3 求解丢番图方程的困难
• §1.4 丢番图方程的求解原则
• 2+by²+cz²=m+dxyz的方法'>第二章 解方程ax²+by²+cz²=m+dxyz的方法
• §2.1 简单同余法
• §2.2 Pell's方程法
• 2-Dy²=c的正整数解'>§2.3 方程x²-Dy²=c的正整数解
• 第三章 几类丢番图方程的整数解
• §3.1 研究背景及相关结果
• 2+by²+cz²=3+dxyz的解'>§3.2 不定方程ax²+by²+cz²=3+dxyz的解
• 2+by²+cz²=m+dxyz的解'>§3.3 方程ax²+by²+cz²=m+dxyz的解
• 2+by²+cz²=x+dxyz的解'>§3.4 方程ax²+by²+cz²=x+dxyz的解
• 参考文献
• 前景与展望
• 致谢