本文研究下述变分不等式的边值问题：其中问题（1）-（2）与一个永久可转换债券的定价问题有关。χ表示公司的总资产,f（χ）表示公司可转换债券的总价值,χ-f（χ）是公司股票的价格。δ为股票的分红率,σ为公司总资产的波动率,r为无风险利率,r>δ。c是债券的分红率,γ是可转债全部转换为股票后在公司总资产中所占的比率,0<γ<1,α是公司总资产的上限。（参见[1]）问题（1）-（2）虽然是一维问题,但因为算子N是二阶非线性的且在χ=0是退化的,该问题没有显示解,且理论研究具有相当的难度。文[1]的作者运用随机分析的方法,证明了问题（1）-（2）解的存在性,但他们未能证明解的唯一性,对自由边界的位置也没能作出估计。本文利用自由边界问题理论中的惩罚方法,通过适当的逼近论证和精细的估计,证明了问题（1）-（2）在C（[0,α]）∩W2,∞（（η,α））（η为（0,α）中任一数）中解的存在性和唯一性,并且得到了自由边界点的上下界估计。本文所用的方法,还可以推广来研究相应的具有有限到期时间的（与时间有关的）可转换债券的定价问题。
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