矩阵和张量计算中的若干问题研究
论文摘要
在本文中,首先我们研究了奇异线性方程组非定常迭代法的收敛性,给出了收敛性成立的必要条件.我们进一步将新的收敛性结果运用到Hermitian半正定线性系统中.我们将一些已有的商收敛结果[11]推广到收敛.同时,将一些经典的定常迭代收敛性理论[11,12,40,66,129,132]推广到非定常情形,建立了新的非定常迭代收敛性结果,我们还将新的收敛性结果运用到求解Hermitian半正定线性系统的非定常迭代Tikhonov正则化方法[7,48]、多分裂算法[12,15,23]和非定常两阶段算法[11,14]的收敛性证明中.其次,我们研究了广义矩阵Sylvester方程(AX-YB,DX-YE)=(C,F)的有效条件数,其中A,D∈Rm×m,B,E∈Rn×n.同时,我们应用小样本统计方法快速估计了广义矩阵Sylvester方程的条件数,其计算量只需要O(m2n+mn2)次浮点数运算.数值例子表明我们给出的扰动界估计是有效的.第三,我们研究了高阶张量Sylvester方程(STE)的向后误差和扰动分析.我们给出了向后误差的上下界以及STE的一阶扰动,二阶扰动和基于残量的扰动界.我们将经典的矩阵Sylvester方程扰动结果推广到高阶情形.最后,我们改进了Google搜索引擎网页排序算法.我们进一步处理归并悬挂点之后的矩阵,将其中的一类弱非悬挂点也归并为一个节点.归并后的矩阵仍然和原始的Google矩阵具有相同的非零特征值.数值例子表明新算法可以节约计算PageRank的运算量.
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摘要Abstract目录第一章 绪论第二章 奇异线性方程组非定常迭代法收敛性2.1 奇异线性方程组迭代法求解预备知识2.1.1 收敛性的定义2.1.2 定常与非定常迭代2.2 收敛性结果证明2.2.1 明准备2.2.2 核心定理2.2.3 一些有用的推论2.3 Hermitian半正定线性方程组算法收敛性证明中的应用2.3.1 Hermitian半正定线性方程组的迭代法收敛性结果的推广2.3.2 非定常迭代Tikhonov正则化方法的收敛性2.3.3 多分裂算法的收敛性2.3.4 两阶段算法的收敛性第三章 广义矩阵Sylvester方程有效条件数和小样本统计条件数估计3.1 矩阵Sylvester方程条件数简介3.1.1 广义矩阵Sylvester方程的解的存在唯一性条件3.1.2 相关条件数理论3.2 矩阵Sylvester方程的有效条件数和SCE算法3.2.1 有效条件数3.2.2 小样本统计条件数估计3.2.3 矩阵Sylvester方程条件数SCE算法3.3 数值算例第四章 高阶张量Sylvester方程向后误差和扰动分析4.1 张量Sylvester方程简介4.1.1 张量Sylvester方程的建立4.1.2 高阶张量的相关性质4.2 张量Sylvester方程的向后误差及三种扰动界4.2.1 向后误差分析4.2.2 一阶扰动结果4.2.3 二阶扰动结果4.2.4 基于残量的扰动界第五章 PageRank计算中Google矩阵节点归并方法5.1 PageRank算法简介5.2 悬挂点和弱非悬挂点的归并5.3 数值算例第六章 总结参考文献发表文章目录致谢
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