本论文主要研究一类半线性椭圆方程用变分法和一些分析技巧研究其解的存在性和多重性．这一类问题带有Hardy项和临界Sobolev-Hardy指数．其中Ω是RN（N≥3）中的有界光滑区域，0≤μ＜（?）（（N-2）／2）2，0≤s＜2.2*（s）=2（N-s）／（N-2）是临界Sobolev-Hardy指数且2*=2*（0）=2N／（N-2）是临界Sobolev指数，λ＞0是实参数，另外f（x，0）≡0，x∈Ω．首先，对λ=1时，满足条件：x∈（?），和某个ρ＞2，使得0＜ρF（x，t）≤f（x，t）t，x∈（?），t∈R+＼{0}，方程所对应的能量泛函的（PS）序列进行了仔细的讨论，给出了局部紧性结果，进而利用这一结果和山路引理证明了该方程正解的存在性．另外，在一定条件下给出了方程的多重性结果．其次，本文利用了Sobolev-Hardy临界时的达到函数，Ekeland变分原理和山路引理证明了如果f满足条件：以及f关于第二个变量非减或在适当的范围内非减，则存在一个常数λ*，当λ∈（0，λ*）时方程两个正解的存在性．最后，把方程推广到p-Laplacian方程并证明了在一定条件下方程有非平凡解．
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