设M是单位球面Sn+p（1）中的n维可定向的紧致极小子流形，S为M的第二基本形式模长的平方。若S≤n/2-1/p，则S=0，即M是全测地子流形；或S≡n/2-1/p，且满足S≡n/2-1/p的n维极小子流形只有下面两种：1．S4（1）中的Veronese曲面，这时n=p=22．Sn+1中的Clif ford超曲面。之后，文献[2]，[4]，[6]等改进和发展了上述结果。最近，H.Z.Li（见文献[3][5][9]）研究了当M是Willmore子流形的情形，得到了下述结果：定义：如果x：M→Sn+p为嵌入在单位球面Sn+p（1）中的n-维子流形，x：M→Sn+p称作Willmore子流形，如果它是下面Willmore泛涵的极值子流形：integral from M（S-nH2）n/2 dv，这里S=sum from i，j(hij)2是第二基本形式模长的平方，H是M的平均曲率。定理：如果M是单位球面Sn+p（1）中的n维紧致Willmore子流形，那么integral from Mρn（n/2-1/p-ρ2）dv≤0如果0≤ρ2≤n/2-1/p那么，或者ρ2≡0，M是全脐子流形：或者ρ2≡n/2-1/p。对于后一种情况，当p=1时，M是Willmore环；Wm,n-m=Sm(（n-m/n）1/2)×Sn-m(（m/n）1/2，1≤m≤n-1。当n=2，p=2时，M是Veronese曲面。显然以上结果中S或S-nH2要求点点满足pinching条件。对于整体pinching问题，首先由C.L.Shen[8]作了研究。之后H.Wang[16]，J.M.Lin和C.Y.Xia[7]和H.W.Xu[9]对于整体的pinching的情形作了深入的研究。本文对Willmore超曲面的情形探讨了整体pinching问题，证明了下述定理：设M（n≥3）为n+1维单位球面Sn+1中的Willmore紧致超曲面，设H和S分别为M的平均曲率和第二基本形式模长的平方。若‖ρ2‖n/2＜n（n-2）3/C2（n）[n3（n-1）2+（n-2）3（1+H02）]其H0=（?）H。则ρ2≡0，即M是单位球面Sn+1中的全脐超曲面。
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