约束矩阵方程问题在结构设计、系统识别、自动控制理论、有限元、振动理论、线性最优控制等领域中有着广泛的应用,至今已取得很多研究成果.研究约束矩阵方程解的秩的分布问题,对于丰富和完善约束矩阵方程理论有着极其重要的意义.本篇硕士论文主要研究以下两个问题：问题Ⅰ给定矩阵A∈Rp×n, B∈Rn×q, C∈Rp×q,集合S(?)Rn×n,记(1)求M、m的值,及S0中元素的一般表达式；(2)给定X*∈Rn×n,求X∈S0,使得问题Ⅱ(1)给定矩阵定A,B,D∈Cn×p,记求S2中元素(X,Y)的一般表达式及最佳逼近.其中GCSCn×n表示全体广义中心对称矩阵的集合.(2)给定矩阵A∈Cm×p,B∈Cq×n,D∈Cm×n,记求S3中元素的最大、最小秩及最小秩元素的一般表示式.主要研究成果如下：(1)对于问题工,主要利用矩阵对的奇异值分解、商奇异值分解、矩阵分块、矩阵结构、高斯消去法及秩的有关理论等得到了当S分别为中心对称、反中心对称、对称、双对称时,S1中元素的最大最小秩、S0中元素的一般表达式及其最佳逼近.(2)对于问题Ⅱ,利用矩阵的广义奇异值分解、三矩阵的奇异值分解及有关秩的理论得到了S2中元素(X,Y)的一般表达式及最佳逼近,S3中元素(X,Y)的最大、最小秩,及其最小秩元素的一般表示式.
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