本文我们首先通过考虑欧氏空间中子流形中的Bochner型公式,分别得到了具有常平均曲率超曲面的Bochner不等式（?） （1）和欧氏空间中高余维极小子流形的Bochner不等式（?） （2）我们知道在欧氏空间的超曲面上存在一个支撑函数ω,当平均曲率向量为常数时（事实上,对欧氏空间中的具有平行平均曲率子流形都成立）,满足一个有名的方程我们借助于这个支撑函数以及其所满足的方程,结合Bochner型不等式,得到超曲面上的次调和函数,再利用梯度估计得到下面的结果:定理0.1: [L-M]假设M是Rn+1（n≤3）中的完备的具有常平均曲率的超曲面,其上有一个正的支撑函数ω。记（?）,如果这里,r是从M中固定一点出发的欧氏距离。那么M必是一个仿射线性子空间。接下来对于极小子流形,我们利用子流形情况下的Bochner型不等式,结合其上存在的L2-Sobolev不等式引理0.1:设Mn是Rn+p中的极小子流形,那么存在常数S（n）=（?）使得对任意的在M上有紧致支集的光滑函数φ有（?） （3）然后我们能得如下的结果:定理0.2: [L]设Mn（n≥3）是Rn+p中完备极小浸入子流形,如果存在一个正常数C1（n）=（?）使得那么M是全测地的。这里B是Mn上的第二基本形式,S（n）是L2-Sobolev不等式常数。对于曲率估计,我们推广[S-Z]关于极小超曲面的结论到极小子流形的情况,经过计算发现,对他们的证明做适当的修改后,结果在极小子流形的情况仍然成立,因此我们可得出如下结论:命题0.2: [L]M是Rn+p中的逆紧的极小子流形,其边界记为（?）M（可能为空）。若α1,α2（0<α1<α2）使得（?）M∩BT（0,α1,α2）=φ,那么存在一常数ε0>0,其仅与n有关使得如果（?）, （4）那么（?） （5）这里am=（?）, （?）表示M的第二基本形式的模。
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