图的对称性一直都是群与图研究中的一个热点问题。它主要通过图的自同构群所具有的某些对称性来描述。这类图的典型代表是Cayley图和Sabidussi陪集图。Cayley图的自同构问题分为两方面:一方面是探索一个群的Cayley图何时同构;另一方面不同群的Cayley图也可能同构。近年来,人们的研究多集中在前一个问题上,而且多限于所谓的CI性质。 1967年Adam提出的猜想揭开了CI-群和DCI—群研究的序幕。到目前为止,对于交换群和可解群,CI-性的研究已有了相当彻底的结果。而对于亚循环群的DCI-性,目前所知的结果并不多。1979年,Babai和Frankl提出的猜想:对于任意的奇素数p,3p阶亚循环群是弱3-DCI-群被徐尚进和王殿军用21阶亚循环群不是弱3-DCI-群的反例所否定。另外,黄琼湘给出了Cayley子集是弱DCI-子集的充要条件,并证明了二面体群D2n是弱2-DCI-群。本文的目的就是继续上述对亚循环群的弱DCI-性工作的研究。 首先,对5p阶亚循环群的生成子集进行分类给出每一类生成子集的DCI-性,并且证明了5p阶亚循环群是非弱5-DCI的。然后,用类似的方法应用到qp阶亚循环群,可得到类似的结果。 本文主要采用的是群论方法。有关群论和代数图论的概念可参考文献[1,2,3]。
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