本文通过一类共轭算子的构造实现了对步进传播计算的改进,使得Helmholtz方程的数值计算加速。首先,需要将无界区域上的Helmholtz方程转化到有界区域。目前很好用的方法是添加PML层。在数学上相当于对坐标做了一个复的伸展变换,使方程转换为一个新的复方程。其次,是对弯曲界面的处理。先选取适当的非线性局部正交坐标变换及方程变换将界面“拉直”,使得在新的特定坐标系下,对方程的离散和界面条件的处理可以像平坦界面一样。再次,在有界区域上求解Helmholtz方程有许多直接的解法,如有限元和有限差分法等。但是若用有限差分或者有限元方法来处理这样一个水平区域很大的Helmholtz方程时,产生的线性方程组阶数将非常大,导致相当大的存储空间,计算的代价也很高昂。同时这些系统常常也是不定的,或非对称的,这就使得方程的求解更加困难。根据波导对区域水平距离依赖很弱的特征,本文采用在波的传播计算中有效常用的步进方法。用步进方法计算波的传播问题将涉及相关算子的特征问题。这个问题主要分成两个方面:一.步进计算中需要从原来复方程提取出的算子L的特征值和特征函数。用多重非对称的Rayleigh迭代算法,得到此复矩阵的特征值和对应的特征向量,为波的传播计算提供了基础。二.在步进计算中由于L算子的特征函数不满足正交性,基转换系数的求得需要求解线形方程组,耗费很大的计算量。为解决这个问题,构造算子L的共轭算子M,通过求解(?)的特征问题得到与L的特征函数集正交的特征函数集,这样基转换系数的求解避免了求解线性方程组,大大减少了计算量,加速了传播的计算。结果表明,共轭算子的构造是可行的,且对传播的计算带来了方便。上述算法不仅可以较好地求出Helmholtz方程在无界区域中的模式分布,而且可以模拟声波的传播场。此改进算法在数值计算上具有保持三对角矩阵运算的优点,极大的减少了存储空间和计算量,在声波导和光波导的无界区域传播计算中得到应用。
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