孤立子理论是近半个世纪中长盛不衰的几个重要热门课题之一,具有孤子解的一些非线性偏微分方程在物理学乃至整个自然科学领域内被不断发掘出,数学的严密与物理的启发实用在这里碰撞产生出智慧的火花。非线性偏微分方程的求解是一直是当今科学中的前沿问题之一,它的数值解和精确解的获得都有益于自然现象的分析和研究。数值求解方面固然成绩瞩目,但数值解不可能包含原方程的解能够表示为无穷情况的全局特征。在很多情况下,人们不仅需要知道一些个别解的具体数值,更希望了解方程解的一般定性特征,它对问题的描述往往更深刻,并且数值解本身还存在着非线性计算不稳定性和解的可靠性等一系列难题,所以,非线性偏微分方程的解析解的研究工作,对于弄清数学模型的内在本质结构和物质在非线性作用下的运动规律以及检验数值解的可靠性有重大意义。研究非线性偏微分方程求解过程中,许多物理学家和数学家提出和发展了一些方法,比如：反散射方法、贝克隆达布变换法、双曲函数展开法、分离变量法、黎卡提方程展开法、子方程展开法等,其中最有效的两大类方法是对称方法和直接构造精确解方法。近年来,随着数学机械化的思潮、计算机科学的发展、物理计算的激励,符号计算系统已经发展成为解决各种科学与工程问题的有力工具,本文基于计算机符号计算系统Maple选择广义对称群方法和广义子方程展开方法,对某些非线性偏微分方程进行了研究。论文安排如下：第一章简要介绍了孤立子以及求解非线性偏微分方程的精确解的若干方法。第二章简述了经典李群方法,并给出了两个具体算例；基于广义对称群理论和符号计算,得到了一个（3+1）-维非线性发展方程和Maccari系统的完全对称群,然后利用子方程展开法和雅克比椭圆函数展开法得到了这两个系统一些精确解,最后利用对称变换群和已获得的精确解推导出了广义的群不变解。第三章借助广义子方程展开法和符号计算,研究了带有时空依赖势、时间依赖的非线性项以及增益／损耗项的（3+1）-维Gross-Pitaevskii方程,得到了丰富的精确解析解：亮孤子和暗孤子、雅可比椭圆函数解、Weierstrass函数解。随后通过计算机对这些解的主要演化性质进行了图像模拟。最后,从孤子管理的方面我们研究了一些亮孤子在不同的物理条件下孤子的非线性动力学性质。
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