重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点。本文首先分析了重心Lagrange插值的基本性质,给出了采用重心Lagrange插值逼近任意连续函数的数值算法。采用重心Lagrange插值近似未知函数,推导了未知函数各阶导数微分矩阵的显式表达式,建立了求解二阶常微分方程初值问题的重心Lagrange插值配点法。提出了一种新的初值条件施加方法,将初始导数条件离散后的代数方程,附加到控制微分方程离散代数方程组,采用最小二乘法求解代数方程。数值算例表明,本文所提出的初值条件施加方法的计算精度高于传统的初值条件置换方法。利用重心Lagrange插值配点法分析了周期激励和一般激励下线性振动问题。数值计算得到位移值后,采用微分矩阵可以方便地得到速度和加速度值。重心Lagrange插值配点法不但对位移具有极高的计算精度,而且对于速度和加速度也就有极高的计算精度。采用重心Lagrange插值配点法分析非线性振动问题。采用重心Lagrange插值配点法离散非线性振动方程及其初始条件,得到一组非线性代数方程,利用Newton法求解非线性方程,得到非线性振动的位移。同时,利用微分矩阵和重心Lagrange插值可以方便地求出非线性振动的速度、加速度和振动周期。线性和非线性振动问题的数值算例表明,重心Lagrange插值配点法具有公式简单、数值实施方便和计算精度高的优点。
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