解不适定算子方程的正则化梯度法

论文摘要

本文主要研究用正则化迭代梯度法求解不适定非线性算子方程．讨论了算法的收敛性和稳定性，以及算法的预处理．第二章针对如下类型的非线性不适定算子方程在整个算子F都带有误差的情况下，即只能得到算子F的近似F，而方程的解关于算子误差δ是不连续的(即不适定)，构造如下修正迭代梯度法在一般非线性假设或者修正的源条件下，无论采用后验准则还是先验准则，算法是收敛的，关于误差是稳定的．在修正的源条件下，如果采用先验停止准则，算法具有最优收敛阶．算子P可以具有某种物理意义．数值结果表明，算子P的引入可以提高算法的性能．第三章讨论了上述迭代算法的连续形式，即渐近正则化方法在修正源条件下，无论算法采用先验停止准则还是后验停止准则，该渐近正则化方法是稳定的和收敛的．并且如果采用先验停止准则，则算法具有最优收敛阶．根据该方法，通过求解上述动力系统的数值方法，可以构造出许多其它迭代算法．第四章针对如下非线性不适定算子方程误差只出现在方程的右边项．利用Hilbert尺度构造了一个预处理迭代梯度法．理论分析和数值结果表明，该预处理方法大大提高了算法性能．

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ABSTRACT

第一章绪论

1.1 非正则算子方程及其不适定性

1.2 则化方法

1.3 一些基本的正则化方法

1.3.1 TIKHONOV正则化方法

1.3.2 LANDWEBER迭代法

1.3.3 广义NEWTON迭代法

1.4 本文的主要工作

第二章迭代正则化梯度法的稳定性和收敛性

2.1 引言

2.2 算法的稳定性分析

2.3 源条件下的收敛性结果

2.3.1 先验准则

2.3.2 后验准则

2.4 算法的有限维近似

2.4.1 先验准则

2.4.2 后验准则

2.5 数值实验

2.5.1 例1

2.5.2 例2

2.6 小结

第三章渐近正则化梯度法

3.1 引言

3.2 渐进正则化梯度法的收敛性结果

第四章预处理迭代梯度法

4.1 引言

4.2 HILBERT尺度和改变的HILBERT尺度

4.3 收敛性分析

4.4 在有限维空间中近似

4.5 数值实验

结论

参考文献

致谢

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