非线性互补问题（NCP）与二阶锥规划（SOCP）问题是两类重要的优化问题．它们广泛出现于科学与工程技术领域，因此研究它们的求解方法具有一定的理论价值与现实意义．互补问题与非线性规划、极大极小、对策论、不动点理论、变分不等式等数学分支紧密联系，并广泛应用于力学、经济、交通等领域，因此受到广泛关注，并在其理论与算法方面取得了丰硕成果．其中，通过构造光滑函数，用光滑牛顿法求解NCP是近年来的研究热点之一．本文第二章考虑了一类P0—映射NCP（F）．首先，引入一个新的光滑函数，将NCP（F）等价转化为一个光滑方程组，并建立了求解它的光滑牛顿法．其次，证明了由该算法产生的无穷序列的任一聚点均为原问题的解，并且当NCP（F）的解集非空有界时，迭代序列有界．然后，当NCP（F）有一个局部惟一解且满足一个非奇异条件时，证明了该算法具有局部超线性收敛性和二次收敛性．最后，用五个例子的数值实验说明了该算法可行且有效．与已有方法相比，本文提出的方法不需要假设搜索方向有界，不需要严格互补条件，而且通过特殊的设计牛顿方程及线性搜索步，可以控制光滑参数以合适的速度收敛．SOCP问题是一类重要的凸优化问题．它不但广泛应用于工程技术领域，而且许多其它的优化问题可以转化为它，因此其求解方法一直是人们关注的焦点问题．目前，有许多方法可以求解SOCP问题，但它们基本上属于传统的迭代法．由于计算时间依赖问题的规模、结构以及所采用的算法，因而很难满足实时性要求．与传统数值方法相比，由于内在的并行分布处理信息的特点及电路实现的潜能，神经网络具有许多计算上的优势和实时性的应用．自提出Hopfield神经网络，并将其成功应用于优化问题后，用神经网络求解优化问题得到了相当深入的研究，并取得了许多重要的成果．本文第三章考虑了一类SOCP问题．利用两个光滑函数分别将二阶锥约束转化为光滑的凸约束，从而将SOCP问题近似转化为两类凸优化问题，并根据射影理论建立了求解它们的两个新神经网络．然后运用Lyapunov稳定性理论和LaSalle不变原理证明了提出的神经网络在适当的条件下是Lyapunov稳定的，且能以任意精度收敛到原问题的解．最后数值实验表明这些网络不仅可行，而且有效．
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