本文第一部分研究了一个二元素变数丢番图方程。丢番图方程问题是数论中的经典问题之一，其研究具有重要的理论意义。Lporta[21]证明了当1＜c＜17／16，N是一个充分大的正整数时，几乎所有的n∈(N．2N]都能表示成n=[p1c]+[p2c]，其中p1，p2≤N1／c且p1，p2均为素数，[x]表示x的整数部分。同时还得到了这些n的表法个数的渐进公式。本文改进了Lporta[21]的结果1＜c＜17／16，证明了当1＜c＜8／7，且N是一个充分大的正整数时，几乎所有的n∈(N，2N]都能表示成n=[p1c]+[p2c]，其中p1，p2≤N1／c且p1，p2均为素数，[x]表示x的整数部分。设其中n∈(N，2N]，N是一个充分大的正整数，p1，p2≤N1／c且p1，p2均为素数，[x]表示x的整数部分。Lporta[21]主要利用了Lporta和Tolev[10]中的三角和估计其中c是满足1＜c＜17／16的固定正常数，P=N1／c，Ω2=（ω，1-ω），ω=P1-c-η，η＜0.001。本文仿照翟文广[20]中的指数和估计方法，得到了其中c是满足17／16≤c＜8／7的固定正常数，P=N1／c，Ω2=（ω，1-ω），ω=P1-c-η，η＜（8／7-c）×10-3。E=exp(-A（logN）1／3-ε，ε是充分小的正数。本文得到了两个主要结果：（1）设1＜c＜8／7，A＞0，ε是任意满足0＜ε＜1／3的常数，我们有（2）设1＜c＜8／7，A，B＞0，ε是任意满足0＜ε＜1／3的常数，则对所有的n∈(N，2N]，除去O(Nexp(-B（logN）1／3-ε))个例外情况，方程n=[p1c]+[p2c)]是可解的，其中p1，p2≤N1／c。我们有论文第二部分考虑一个二元无平方因子数的丢番图方程问题。Deshouillers[1]证明了当1＜c＜4／3时，每一个充分大的整数N可表示为N=[nc]+[mc]-其中n，m为整数。后来，Gritsenko[2]和Konyagin[3]改进了这一结果，特别的，Konyagin证明了当1＜c＜3／2时，对每一个充分大的整数N，N=[nc]+[mc]是可解的。本文研究当n，m为无平方因子数时N=[nc]+[mc]的可解问题。本文证明的主要结论：令则有渐进公式在1＜c＜6／5时成立，其中Δ=1／c-5／6。
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