数论中的一个著名问题是研究除数函数d（n）=∑d|n1的均值问题，令：要求求出D（x）的主项，并且尽可能好地估计它的余项。这一问题通常称为Dirichlet除数问题。1849年，Dirichlet首先证明了如下渐进公式：并且余项满足Δ（x）=O(x1／2)。后来这一结果被很多数学家进行了改进。对于Dirichlet除数问题，猜测对于（?）ε＞0，有该猜想所依据的是董光昌证明的经典平方均值结果：将此问题推广，我们设1≤a≤b≤c为三个实数，定义函数对于任意（a，b，c）组合，研究D（a，b，c；x）的广义估计即著名的三维除数问题。对于三维除数问题的一种比较特殊的形式，我们写其中主项利用解析方法很容易得到，则我们只需对余项Δ（a，a，b；x）寻求更好的上界估计。鉴于直接估计该余项的上界相对比较困难，而往往是通过研究其平方均值寻求支持，所以本文第一章使用解析方法研究了（a，a，b）型三维除数问题的余项Δ（a，a，b）的平方积分均值，由于a=1的情况已被解决，且若a|b或（a，b）=d＞1，均可归结至已解决的情形中，所以本文将研究a≥2且（a，b）=1时的情形，特别地，对于b＞5a／2，得到了较好的估计。我们将证明以下定理：定理设T≥2，a，b为整数且满足a≥2及（a，b）=1，则有其中，在本文第二章中，设n为整数，令r（n）表示将n写为两个平方数的和的方法个数，q3（n）为无立方因子数的特征函数，P（x）为高斯圆内格点问题的余项。令则容易看出，函数q3（n）r（n）表示的是将一个无立方因子数表示为两个平方数的和的方法个数。对于长区间的情况，已有相关参考文献研究过，我们将研究小区间的情形。本文第二章将证明以下结果：如果成立，则对于xθ+ε≤y≤x，有其中C为常数。特别地，此结果对于θ=131／416成立。
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