刚性微分方程常出现于控制系统、电子网络、生物学、物理、化学动力学以及航天工业设计与连续系统仿真领域中,刚性微分方程与普通微分方程的一个明显差异是它不适宜于用显式方法求解,这就需要用具有较大稳定区域的隐式方法来求解刚性问题。近三十年来,刚性问题算法理论已引起众多学者的广泛关注。其中的重要问题之一是高效数值算法的构造。本文首先介绍了刚性问题的特性,回顾了适用于刚性问题求解的一些重要算法,包括著名的向后微分公式（BDF）和广义向后微分公式（EBDF）,以及简单介绍了近三十年来有关求解刚性问题的构造方法。在此基础上,我们引入了一类新的算法,它是EBDF方法的一般化。通过对局部截断误差分析,我们推导了新方法的阶条件,构造了一族含有两个自由参数的k步k + 1阶方法。随后,在方法满足零稳定性条件的前提下,通过对两自由参数的选取,寻求具有尽可能大的绝对稳定区域的方法。我们运用计算机搜索的办法,对k = 4,5,6,7,8逐个进行了研究,画出了其对应的绝对稳定区域,并与EBDF方法的绝对稳定区域进行了比较。结果表明所获新方法比EBDF方法具有更大的绝对稳定区域。最后,我们分别对一维和二维刚性微分方程进行数值试验,验证所获理论分析结果。
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