对于完全二阶柯西问题,研究问题的正则性和解的存在性与唯一性有着非常重要的意义.现实生活中,各种波动方程,梁方程,黏弹性、强阻尼方程等为完全二阶方程提供了丰富的背景.一般说来,偏微分方程常可以转化成在无限维空间的抽象微分方程.柯西问题就是偏微分方程的一种抽象形式.关于柯西问题的正则性自上世纪六十年代以来得到了重视,并在九十年代形成了比较丰富的结果.关于柯西问题的周期边值问题,在上世纪九十年代和近几年已经有许多结论,并有广泛的应用.本文主要利用L.Weis向量值乘子定理,Marcinkiewicz向量值乘子定理,正弦传播子的解析性,同时也结合了泛函分析的大量方法、技巧和结果.这其中涉及到Fourier变换、R-有界、UMD空间、Hardy不等式、Marcinkiewicz插值理论等.本文采用了柯西问题最大正则性研究中的一些知识和方法,结合二阶柯西问题的已有结论,本文的工作主要针对抽象的完全二阶柯西问题的Lp-最大正则性、Cθ-正则性、Besov-正则性和权空间情形,与周期边值问题进行了多方面的阐述,目的在于弄清楚抽象的完全二阶柯西问题的Fourier乘子、最大正则性与周期解的关系.本文重点就Lp（0,2π;X）空间、Besov空间、Lp-权空间讨论完全二阶柯西问题的Fourier乘子、最大正则性和周期解的关系,得到相应周期问题强解的乘子刻画和权空间的Lp-最大正则性的一个等价关系.在实际生活中,这些理论为探讨拟线性问题、非自治系统等问题的周期解的适定性奠定了良好的基础,为上述问题的强解的局部存在性与唯一性提供了思路.
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