三维外问题基于椭球面人工边界的区域分解法

论文摘要

由冯康教授首创,并由其本人及余德浩教授等发展起来的自然边界归化理论在各种边界归化理论中独树一帜,它与有限元、辛几何算法一起构成了冯康教授的三大学术贡献.自然边界元法,除可以直接用于求解某些无界区域椭圆边值问题外,基于自然边界归化的耦合算法和区域分解算法也是处理无界区域及凹角、断裂区域问题的有效手段.之前人们的通常以圆（二维情况）、球面（三维情况）作为无界区域的内边界,取得了丰富的研究成果.但对于某些特殊形状的内部区域,例如,雪茄型区域,用长椭球面作人工边界,则可大大减小计算区域,从而可以减少计算量和存储量.本文主要研究三维Poisson方程外问题的基于两种椭球面人工边界的区域分解算法.第一章介绍了两种椭球坐标、一些特殊函数和边界上Sobolev空间,作为以后各章进行理论分析的重要工具.第二、三章讨论了三维Poisson外问题的基于长椭球面、一般椭球面人工边界的Dirichlet-Neumann交替算法（D-N交替算法）,给出了两种椭球面外部区域的Laplace方程的解的显示表达式、精确的人工边界条件和D-N交替算法,分析了离散D-N交替算法的收敛性,并给出了数值解的误差估计,通过数值算例以示方法的可行性与有效性.第四章研究了三维Poisson外问题的基于长椭球面人工边界的Schwarz交替算法,给出了算法的收敛性分析、算法的收敛速度分析及离散情形的误差估计,通过数值算例以示方法的可行性与有效性.

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Abstract

摘要

Introduction

Chapter 1 Preliminaries

1.1 Introduction

1.2 Spheroidal coordinates

1.2.1 Prolate spheroid coordinates

1.2.2 Ellipsoidal coordinates

1.3 Special functions

1.3.1 Legendre functions

1.3.2 Associated Legendre functions

1.3.3 Spherical harmonic functions

1.3.4 Lame functions

1.3.5 Ellipsoidal harmonic functions

1.4 Sobolev spaces

1.4.1 Some important Sobolev spaces

1.4.2 Some important theorems

Chapter 2 A D-N algorithm for exterior 3-D Poisson problem with prolate spheroid boundary

2.1 Introduction

2.2 A D-N alternating algorithm based on NBR

2.3 Analysis of convergence

2.4 Error estimates

2.5 Numerical experiments

2.6 Conclusions

Chapter 3 A D-N algorithm for exterior 3-D Poisson problem with ellip-soidal boundary

3.1 Introduction

3.2 A D-N alternating algorithm based on NBR

3.3 Analysis of convergence

3.4 Error estimates

3.5 Numerical experiments

3.6 Conclusions

Chapter 4 A Schwarz algorithm for exterior 3-D harmonic problem with prolate spheroid boundary

4.1 Introduction

4.2 A Schwarz alternating algorithm based on NBR

4.3 Analysis of convergence

4.4 Analysis of convergence rate

4.5 Error estimates

4.6 Numerical experiments

4.7 Conclusions

Chapter 5 Summary and prospect

Bibliography

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