不定方程不仅自身发展异常活跃,而且全面应用于离散数学的其它各个领域,它对人们学习研究和解决实际问题有着重要的作用。因此,国内外有诸多学者对不定方程有着广泛而深入的研究。随着不定方程的推动,代数数论取得了初步的形成与发展,尤其是数学家Kummer引进了理想数的概念后,使得不定方程的研究有了突破性进展。作为代数数论中的重要组成部分,二次域及二次域中的算术、理想、类数等对研究不定方程有重要的作用。对某些D,研究不定方程x2 + D=4y7解的情况:若二次域Q(D1/2)的类数为1,则直接应用其相应的代数整数环的惟一因子分解定理求解。而若Q(D1/2)的类数不为1,则先应用其相应的代数整数环上理想的惟一分解定理进行讨论,然后在根据主理想整环是惟一因子分解整环进行求解。本文利用二次域中的重要理论,结合Maple程序,主要讨论了不定方程x2 + D=4 y7（ D >0）解的情况,分四个章节来说明。第1章综述了关于不定方程x2 + D=4pn及用代数数论解该类不定方程的国内外研究现状。第2章给出了本文的预备知识:对二次域的有关性质、代数数域的理想、类数、惟一分解定理等都有详细的介绍。第3章主要分三节具体证明了x2 + D=4y7（ D >0）解的情况。第一节证明了x2 + 3 =4y7和x2 + 19 =4y7分别仅有整数解（ x ,y）=（±1,1）和（ x ,y）=（±559,5）;第二节证明了x2 + D=4y7, D = （7,11,43,67）时无整数解;第三节证明了x2 + D=4y7, D = （23,31,47,59）时无整数解。第4章对全文作了一个总结,归纳出一般的情形并对未来的发展提出了一些有待研究的问题。本文的主要结果将在第3章给出。
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