有限元方法是求解微分方程定解问题的一种十分有效的数值方法。它是先将微分方程定解问题化成与之等价的变分问题,再用有限维空间来逼近变分问题中的无穷维空间。它是基于样条函数方法提供了一种选取逼近空间的“局部基函数”或“分片多项式空间”的技巧。有限元法将微分方程定解问题定义在简单几何形状的单元域上,且不考虑整个定义域的复杂边界条件,这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。Cahn-Hilliard方程是一类重要的四阶非线性扩散方程。最初是由Cahn和Hilliard于1958年在研究热力学中两种物质（如合金,等）之间相互扩散现象时提出的。后来在描述生物种群的竞争与排斥现象、河床迁移过程、固体表面上微滴的扩散现象的研究中也提出了同样的数学模型。系统的研究Cahn-Hilliard方程是从八十年以后才开始的。由于Cahn-Hilliard方程在化学,化工和材料科学等方面的重要背景,近年来倍受关注,成果颇多。本文讨论求解非线性发展型Cahn-Hilliard方程的有限元方法,建立Cahn-Hilliard方程的半离散格式,借助一个双调和问题的有限元投影逼近给出了半离散和全离散逼近,稳定性,误差分析。特别是对于3次Hermite型有限元,得到了在剖分节点处导数逼近的超收敛性质。然后本文讨论了Cahn-Hilliard方程的全离散有限元逼近,构造出显式欧拉格式和Crank-Nicolson格式,并给出全离散格式的误差分析。
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