最近，四阶抛物方程因其在现代应用科学中的重要应用，如用于研究相变的Cahn-Hilliard方程，描述固体表面微滴的扩散过程的薄膜（thin film）方程，及模拟半导体电荷运输的量子流体力学（quantum hydrodynamics）方程（参见文献[2，3]）等，而被引起广泛关注和研究兴趣．本文研究出现于量子流体力学（QHD）理论分析中的一类一维四阶抛物方程的初值问题其中ρ=ρ（x，t）＞0表示密度，在量子流体动力学中，ρ表示粒子的宏观概率密度分布．压力函数p=p（ρ）满足p′（ρ）＞0，ρ＞0，ρ±＞0是给定常数．ε＞0是度量化（scaled）的Planck常数．本文研究初值问题（1）整体强解存在性及大时间行为．依据量子流体动力学的半经典极限理论（参见文献[19]），我们可以形式地在方程（1）1中令Planck常数ε→0，（事实上，在量子力学中，ε是一个很小的数），可以得到如下的一维拟线性抛物方程ρt=p（ρ）xx．（2）该方程有如下的自相似解（参考文献[7]）ρ（x，t）=W(x/（t+1）1/2，W（±∞）=ρ±，ρ±＞0．定义z0（x）=integral from n=-∞to x （ρ0（y）-W（y+x0））dy，其中x0是一个常数满足integral from n=-∞to +∞（ρ0（x）-W（x+x0））dx=0．我们将在本文中证明，如果|ρ+-ρ-|<<1，z0∈H4（R），并且||z0（x）||H4（R）充分小，则初值问题（1）有唯一的整体强解ρ，并且对任意的T＞0，满足ρ-W∈L∞（0，T；H3（R））∩L2（0，T；H5（R））．此外，当时间趋于无穷时，初值问题（1）的解ρ渐近收敛于方程（2）的自相似解W，并且满足‖（?）xk（ρ-W）（t）‖L2（R）≤C（1+t）-1/2（1+k），k=0，1，2，3，和‖（ρ-W）（t）‖L∞（R）≤C（1+t）-1。
本文来源: https://www.lw50.cn/article/de8a519a3d9b5cb7356f2bbd.html