一个数有很多种表示方式,然而比起我们熟知的进制分数来说,连分数作为数的一个表示方式有很多优点,其中衡量一个数的表示形式的优劣,一个的必要标准就是这种表示方式可以多大程度上反映了这个数的性质,是否容易从这种表示方式上判断出这种性质。从这方面讲,连分数比起进制分数具有明显的优势,其中正规连分数、最近整数连分数在数的表示方面已经有了很深的研究,本文主要讨论了相似于但不同于这两种连分数的连分数形式――α?连分数,它是正规连分数、最近整数连分数的推广,可以发现当α= 1和α= 0.5时就是上述正规连分数、最近整数连分数形式。正规连分数的研究历史要比α?连分数长一些,得到了很多好的结论,已经形成了近乎完整的整套理论,而关于α?连分数的理论结果也没有象正规连分数这么丰富,它是Nakada在1981年才提出逐渐被研究的。Nakada等人平行与正规连分数做出了许多与正规连分数相似的性质。本文主要采取与正规连分数对比的方式叙述了这些α?连分数所具有的与正规连分数相似的性质、α?连分数与正规连分数的关系,也考虑了是否正规连分数的其他性质可以被α?连分数所具有的问题,本文中,根据Nakada已经得到的α?连分数的性质和正规连分数中部分商分布的一些结果,也提出了在这种连分数表示中部分商有界集合的维数问题并得到一个等价的结论。
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