离散分数傅立叶变换（DFRFT）是离散傅立叶变换（DFT）的推广。通过分数阶数的引入,DFRFT提供了比DFT更加丰富的信号时-频表达形式。由于数字信号处理必须采用离散形式的分数傅立叶变换,这使得离散分数傅立叶变换及其快速算法的研究显得尤为重要。本文的主要工作是,首先研究了第四类型的离散傅立叶变换（GDFT）的特征值和特征向量,得到了GDFT矩阵的特征值及其重数,由于GDFT矩阵只有四个不同的特征值,也就只有四个不同的特征子空间,这些特征子空间的标准正交基（特征向量基）的选取存在多样性。本文利用交换矩阵的理论得到了与离散赫尔米特高斯函数相似的一组实对称正交的特征向量基。其次,利用谱分解的思想,类似于连续分数傅立叶变换的构造,本文提出了一种新的离散分数傅立叶变换（GDFRFT）。这种定义是基于GDFT矩阵的特殊特征向量基,这组特征向量与离散赫尔米特高斯函数有相似性。这个定义满足酉性、可加性、一阶变换退化为GDFT矩阵,而且数值仿真表明,它能很好逼近连续分数傅立叶变换的结果。最后,作为前述GDFRFT的一个应用,本文利用GDFRFT完成chrip类信号的滤波。基于chrip类信号在连续分数变换域变为δ函数这样一个基本事实,可以在适当阶数的分数傅立叶变换域利用一个比较窄的掩模来去除这类脉冲,本文利用前述GDFRFT算法成功实现了离散chrip类信号的滤波。通过数字仿真验证了这种方法可有效地去除chrip类信号干扰。
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