目前，微波加热技术使用非常的广泛，并且具有重大的经济价值，微波加热还具有瞬时性和无惯性，因此微波加热的最优控制成为可能。但是人们对微波加热的最优控制问题研究还是比较少，特别在工业应用中，绝大部分微波加热控制还依赖于“经验估计”，这样阻止了工业自动化的进程，直接导致了经济效益的降低。在此，本文主要讨论一类微波加热的最优控制的必要条件，为微波加热提供理论性指导，为数值模拟计算作准备。根据微波加热的机理，其加热过程在数学模型上可以描述为Maxwell方程与热传导方程的耦合。本文讨论的是受控制系统为线性的时谐微波加热系统（即为时谐Maxwell方程与热传导方程的耦合），受控集为非凸集，目标要求达到均匀加热和耗能最小时的最优控制问题的必要条件。详细可描述为：设Ω（?）R3为一有界区域，（?）Ω∈C2。记QT=Ω×（0，T）。假定受控系统为其中ω，ε0，ρ，c均为常数，n（x）是x∈（?）Ω处的外单位法向量，（（?）u）/（（?）n）表示外法向导数。考虑到实际应用，本文所取的容许控制集为Uad={q：[0，T]→R|q（t）∈{0，1}}，其中q为可测函数，这样的容许控制集是非凸的，目标泛函为J（q）=integeral from n=Ωto|u（x，T）-uT（x）|2dx+δ′integeral from n=0 to T|q（t）|2dr，其中δ′为给定的正常数，体现的是微波加热的温度既要达到我们预期值还要最大限度的节能。然后本文在假定最优控制是存在的基础之上，先研究受控系统的解的性质进行研究，然后借助共轭法，推导出了时谐麦克斯韦方程耦合热传导方程系统最优控制的一阶必要条件，并且给出了证明。一般的最优控制问题的必要条件都是在凸的容许控制集中来讨论的，常常所采用的方法是共轭法，即通过计算目标泛函变分，变分方程，共轭方程，然后根据Euler方程来推导最优控制问题的必要条件的办法来处理，由于本文最优控制问题的容许控制集是非凸的，所以不能采用通常的直接计算目标泛函变分的办法来处理。为此，本文引入针尖扰动的定义、Ekland距离以及相应的空间，利用针状变分的一些性质，计算目标泛函变分和共轭方程的办法来处理，从而得到最优控制问题的一阶必要条件。此理论结果可为设计加热均匀、节能的微波加热系统提供理论性指导和控制策略。
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