起初的偏微分方程数值解法在剖分定义域时,采用的都是均匀网格,这样做使得差分格式和数值计算都相对简单一些。但是为了提高精度,这类格式要求网格必须尽可能细化。人们为了减少运算量,考虑在非均匀网格上建立差分格式。但在非均匀网格上建立的差分格式无论在形式上还是在收敛性和误差估计的理论分析上都比在均匀网格上建立的差分格式要复杂得多。对非线性抛物型方程的各种初边值问题在非均匀网格上建立高精度的差分格式时,这一点也显得突出。本文主要讨论非线性抛物型方程（组） A（ x , t , u , ux）ut = uxx + f （ x , t , u , ux）初边值问题的数值解法。主要内容安排如下:第二章介绍了Crank-Nicholson格式,应用这种格式的思想,采用非均匀网格化的方式,针对非线性抛物型方程组的初边值问题,建立了一种改进的C-N差分格式。然后证明了该格式的收敛性,给出了误差估计式。最后用三种不同网格下的数值实验,验证了差分格式的有效性,并就如何作出合理的非均匀网格做了一些分析。第三章仿照第二章中的方法,对上述非线性抛物型方程组的Neumann初边值问题的数值解法进行了讨论。建立了在非均匀网格上的改进的C-N差分格式,该格式也可用“追赶法”求解。证明了该格式的收敛性,给出了误差估计式样。最后用数值实验,验证了差分格式的有效性,也就如何作出该问题的合理的非均匀网格做了一些分析。
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