杨钊
〔摘要〕对形如y=ax2+bx+cx或y=ax(b-cx)型的函数求最值问题均可考虑利用基本不等式方法去解决。〔关键词〕基本不等式最值问题如果a,b均为非负数，那么a+b2≥姨ab。当且仅当a=b时不等式取等号。此不等式叫基本不等式（也叫均值不等式）。它的变形式为：①a+b≥2姨ab（积一定，和有最小值）。②姨ab≤a+b2即ab≤a+b蓸2蔀2(和一定，积有最大值)利用它的变形式可以求一定形式的函数的最大（小）值问题。下边介绍几种求函数最值的方法：1添项，拆项，配凑法例1:设x>1,求函数y=x+２x-1的最小值。解：∵x>1∴x-1>0∴y=x+２x-1=(x-1)+２x-1+1≥2（x-1)?２姨x-1+1=2姨2+1当且仅当x-1=２x-1即x=姨2+1时，ymin=2姨2+1注：本题是添项法。例2设x∈R,求函数y=x2+5姨x2+2的值域。解：∵x∈R∴x2≥0∴y=x2+5姨x2+2=(x2+2)+3姨x2+2=姨x2+2+3姨x2+2≥2x2+2?3姨姨x2+2=2姨3当且仅当姨x2+2=3姨x2+2即x=±1时，ymin=2姨3∴y∈[2姨3,+∞)注：本题为配凑法例3:设x>-1,求函数y=x2+7x+10x+1的最小值。解：∵x>-1∴x+1>0∴y=x2+7x+10x+1=［(x+1)-1］2+7［(x+1)-1］+10x+1=（x+1）2+5(x+1)+4x+1=(x+1)+4x+1+5≥2(x+1)?4姨x+1+5=9当且仅当x+1=4x+1即x=1时，ymin=9注:本题利用配凑法
2常值代换法
例4:已知x>0,y>0且x+y=1,求u=8x+2y的最小值.解：∵x+y=1,x>0,y>0∴u=8x+2y=(8x+2y)?(x+y)=10+8yx+2xy≥10+28yx?2x姨y=18当且仅当8yx=2xy且x+y=1时，即x=23,y=13时，ymin=18例5：已知a>0,b>0且4a+b=30,求1a+1b的最小值。解：∵a>0,b>0且4a+b=30∴4a+b30=1∴1a+1b=(1a+1b)?4a+b30=130（5+1a+4ab）≥130(5+2ba姨?4ab)=310当且仅当ba=4ab且4a+b=30时，即a=5,b=10时，ymin=310注：这两道题都是利用常值代换法3消元法例6：若a>0,b>0且ab+a+2b=30,求y=ab的最大值解：∵ab+a+2b=30∴b=30-aa+2(a>0)∴y=ab=a?30-aa+2=30a-a2a+2=30[(a+2)-[(a+2)-2]2a+2=34-[64a+2+(a+2)]≤34-2×8=18当且仅当64a+2=a+2即a=6，b=3时，ymin=18注：此题利用消元法
4不等式法
例7：若a>0,b>0,且ab+a+2b=30,求y=ab的最大值。解：∵a>0,b>0,且ab+a+2b=30∴a+2b=30-ab≥2姨a?2b∴ab+2姨2?姨ab-30≤0∴-5姨2≤姨ab≤3姨2又∵ab>0∴0≤姨ab≤3姨2∴0≤ab≤18当且仅当a=2b且ab+a+2b=30时，即a=6,b=3时，y=18小结一：对形如y=ax2+bx+cx的函数，求最值（a,c同号）问题变形为：y=ax+cx+b当且仅当a>0,b>0且x=姨ac时，ymin=2姨ac+b;当且仅当a＜0,b＜0且x=-姨ac时，ymax=-2姨ac+b小结二：对形如y=ax(b-cx)的函数，求最大值问题变形为：y=ac?cx?(b-cx)≤ac?[cx+(b-cx)2]2=ab24c当且仅当b-cx>0,cx>0,且cx=b-cx时，即x=b2c时，ymin=cb24c小结三：对若Ax+By=m,求函数u=bx+by的最值问题（a,b,A,B>0）利用常值代换法：由Ax+By=m得Ax+Bym=1，所以u=ax+by=（ax+by）?Ax+Bym=1m?（Aa+Bb+aByx+bAxy）≥1m?(Aa+Bb+2abAB姨),∴umax=1m(Aa+Bb+2姨abAB)
作者单位：陕西省户县第六中学
本文来源: https://www.lw50.cn/article/f27f75c03829339ae6ee2647.html